Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=

3

2

x2+bx+c的圖象與x軸交于A（-1，0）、B（3，0）兩點，頂點為C．

（1）求此二次函數(shù)解析式；
（2）點D為點C關(guān)于x軸的對稱點，過點A作直線l：y=

3

3

x+

3

3

交BD于點E，過點B作直線BK∥AD交直線l于K點．問：在四邊形ABKD的內(nèi)部是否存在點P，使得它到四邊形ABKD四邊的距離都相等？若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）在（2）的條件下，若M、N分別為直線AD和直線l上的兩個動點，連結(jié)DN、NM、MK，求DN+NM+MK和的最小值．

Answer 1

分析：（1）將點A、B兩點的坐標(biāo)代入y=

3

2

x²+bx+c，運用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)的解析式；
（2）先用配方法求出拋物線的頂點C的坐標(biāo)為（1，-2

3

），根據(jù)關(guān)于x軸對稱的兩點橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)得出點D的坐標(biāo)為（1，2

3

），運用待定系數(shù)法求得直線AD的解析式為y=

3

x+

3

，由BK∥AD，可設(shè)直線BK的解析式為y=

3

x+m，將B（3，0）代入，得到直線BK的解析式為y=

3

x-3

3

，聯(lián)立直線l與直線BK的解析式，求得它們的交點K的坐標(biāo)為（5，2

3

），易求AB=BK=KD=DA=4，則四邊形ABKD是菱形，由菱形的中心到四邊的距離相等，得出點P與點E重合時，即是滿足題意的點，根據(jù)中點坐標(biāo)公式求出E點坐標(biāo)為（2，

3

）；
（3）先由點D、B關(guān)于直線AK對稱，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得出DN+MN的最小值是MB．過K作KF⊥x軸于F點．過點K作直線AD的對稱點P，連接KP，交直線AD于點Q，則KP⊥AD，再由角平分線及軸對稱的性質(zhì)得出KF=KQ=PQ=2

3

，則MB+MK的最小值是BP，即BP的長是DN+NM+MK的最小值，然后在Rt△BKP中，由勾股定理得出BP=8，即DN+NM+MK的最小值為8．

解答：解：（1）∵二次函數(shù)y=

3

2

x²+bx+c的圖象與x軸交于A（-1，0）、B（3，0）兩點，
∴

3 2 -b+c=0 9 3 2 +3b+c=0.

，解得 

b=- 3 c=- 3 3 2 .

，
∴二次函數(shù)解析式為y=

3

2

x²-

3

x-

3 3

2

；

（2）∵y=

3

2

x²-

3

x-

3 3

2

=

3

2

（x²-2x）-

3 3

2

=

3

2

（x-1）²-2

3

，
∴頂點C的坐標(biāo)為（1，-2

3

），
∵點D為點C關(guān)于x軸的對稱點，
∴點D的坐標(biāo)為（1，2

3

）．
易求直線AD的解析式為y=

3

x+

3

，
∵BK∥AD，∴可設(shè)直線BK的解析式為y=

3

x+m，
將B（3，0）代入，得3

3

+m=0，解得m=-3

3

，
∴直線BK的解析式為y=

3

x-3

3

．
由

y= 3 3 x+ 3 3 y= 3 x-3 3

，解得

x=5 y=2 3

，
∴交點K的坐標(biāo)為（5，2

3

）．
∵A（-1，0）、B（3，0），K（5，2

3

），D（1，2

3

），
∴AB=BK=KD=DA=4，
∴四邊形ABKD是菱形．
∵菱形的中心到四邊的距離相等，
∴點P與點E重合時，即是滿足題意的點，坐標(biāo)為（2，

3

）；

（3）∵點D、B關(guān)于直線AK對稱，
∴DN+MN的最小值是MB．
過K作KF⊥x軸于F點．過點K作直線AD的對稱點P，連接KP，交直線AD于點Q，
∴KP⊥AD．
∵AK是∠DAB的角平分線，
∴KF=KQ=PQ=2

3

，
∴MB+MK的最小值是BP．即BP的長是DN+NM+MK的最小值．
∵BK∥AD，
∴∠BKP=90°．
在Rt△BKP中，由勾股定理得BP=8．
∴DN+NM+MK的最小值為8．

點評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點有運用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，軸對稱、角平分線的性質(zhì)，兩函數(shù)交點坐標(biāo)的求法，勾股定理，菱形的判定與性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，難度較大．運用數(shù)形結(jié)合及方程思想是解題的關(guān)鍵．