如圖,二次函數(shù)y=ax2+x+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn),且A點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,0),與y軸交于點(diǎn)C(0,3).
(1)求出這個(gè)二次函數(shù)的解析式;
(2)直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)為______;
(3)在x軸是否存在一點(diǎn)P,使△ACP是等腰三角形?若存在,求出滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請說明理由;
(4)在第一象限中的拋物線上是否存在一點(diǎn)Q,使得四邊形ABQC的面積最大?若存在,請求出Q點(diǎn)坐標(biāo)及面積的最大值;若不存在,請說明理由.

【答案】分析:(1)因?yàn)閥=ax2+x+c的圖象經(jīng)過A(-2,0),C(0,3),代入求出c、a的值,即可得到答案;
(2)把y=0代入求出x的值,即可得到答案;
(3)在Rt△AOC中根據(jù)勾股定理求出AC,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出,①當(dāng)P1A=AC時(shí)(P1在x軸的負(fù)半軸),P1(-2-,0);②當(dāng)P2A=AC時(shí)(P2在x軸的正半軸),P2-2,0);③當(dāng)P3C=AC時(shí)(P3在x軸的正半軸),P3(2,0);④當(dāng)P4C=P4A時(shí)(P4在x軸的正半軸),P4,0),即可得出答案;
(4)設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),因?yàn)辄c(diǎn)Q在y=-x2+x+3上,得出Q點(diǎn)坐標(biāo)為(x,-x2+x+3),連接OQ,根據(jù)S四邊形ABQC=S△AOC+S△OQC+S△OBQ,代入求出即可.
解答:解:(1)∵y=ax2+x+c的圖象經(jīng)過A(-2,0),C(0,3),
∴c=3,a=-,
∴所求解析式為:y=-x2+x+3,
答:這個(gè)二次函數(shù)的解析式是y=-x2+x+3.

(2)解:(6,0),
故答案為:(6,0).

(3)解:在Rt△AOC中,
∵AO=2,OC=3,∴AC=,
,①當(dāng)P1A=AC時(shí)(P1在x軸的負(fù)半軸),P1(-2-,0);
②當(dāng)P2A=AC時(shí)(P2在x軸的正半軸),P2-2,0);
③當(dāng)P3C=AC時(shí)(P3在x軸的正半軸),P3(2,0);
④當(dāng)P4C=P4A時(shí)(P4在x軸的正半軸),
在Rt△P4OC中,設(shè)P4O=x,則(x+2)2=x2+32
解得:x=,
∴P4,0);
答:在x軸存在一點(diǎn)P,使△ACP是等腰三角形,滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)是(-2-,0)或(-2,0)或(2,0)或(,0).

(4)解:如圖,設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),因?yàn)辄c(diǎn)Q在y=-x2+x+3上,
即:Q點(diǎn)坐標(biāo)為(x,-x2+x+3),
連接OQ,
S四邊形ABQC=S△AOC+S△OQC+S△OBQ,
=3+x+3(-x2+x+3)
=-x2+x+12,
∵a<0,
∴S四邊形ABQC最大值=,
Q點(diǎn)坐標(biāo)為(3,),
答:在第一象限中的拋物線上存在一點(diǎn)Q,使得四邊形ABQC的面積最大,Q點(diǎn)坐標(biāo)是(3,),面積的最大值是
點(diǎn)評:本題主要考查對用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式,等腰三角形的判定,三角形的面積,二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,二次函數(shù)的最值等知識點(diǎn)的理解和掌握,綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵.題型較好,綜合性強(qiáng).
練習(xí)冊系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)D(0,
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),且頂點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為4,該圖象在x軸上截得的線段AB的長為6.
(1)求二次函數(shù)的解析式;
(2)在該拋物線的對稱軸上找一點(diǎn)P,使PA+PD最小,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)在拋物線上是否存在點(diǎn)Q,使△QAB與△ABC相似?如果存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);如果不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O,且經(jīng)過點(diǎn)A(3,3),一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)B(6,0).
(1)求二次函數(shù)與一次函數(shù)的解析式;
(2)如果一次函數(shù)圖象與y相交于點(diǎn)C,點(diǎn)D在線段AC上,與y軸平行的直線DE與二次函數(shù)圖象相交于點(diǎn)E,∠CDO=∠OED,求點(diǎn)D的坐標(biāo).
精英家教網(wǎng)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于B、C兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)A(0,-3),∠ABC=45°,∠ACB=60°,求這個(gè)二次函數(shù)解析式.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

某公司推出了一種高效環(huán)保型洗滌用品,年初上市后,公司經(jīng)歷了從虧損到盈利的過程,如圖的二次函數(shù)圖象(部分)刻畫了該公司年初以來累積利潤s(萬元)與時(shí)間t(月)之間的關(guān)系(即前t個(gè)月的利潤總和s與t之間的關(guān)系).根據(jù)圖象提供的信息,解答下列問題:
(1)求累積利潤s(萬元)與時(shí)間t(月)之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)求截止到幾月末公司累積利潤可達(dá)30萬元;
(3)從第幾個(gè)月起公司開始盈利?該月公司所獲利潤是多少萬元?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸相交于兩個(gè)點(diǎn),根據(jù)圖象回答:(1)b
0(填“>”、“<”、“=”);
(2)當(dāng)x滿足
x<-4或x>2
x<-4或x>2
時(shí),ax2+bx+c>0;
(3)當(dāng)x滿足
x<-1
x<-1
時(shí),ax2+bx+c的值隨x增大而減�。�
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