Question

如圖所示，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD

(1)若AD＝5，BC＝11，梯形的高是4，求梯形的周長；

(2)若AD＝a，BC＝b，梯形的高是h，梯形的周長為c，則c＝________(用含a、b、h的代數(shù)式表示，答案直接填在橫線上，不要求證明)；

(3)若AD＝3，BC＝7，BD＝，求證：AC⊥BD．

Answer 1

答案：
解析：

解答和證明：(1)如圖所示，過A、D分別作AM⊥BC于M，DN⊥BC于N，則四邊形AMND是平行四邊形． 　　∴AD＝MN＝5，AM＝DN＝4． 　　又因為AB＝CD， 　　∴Rt△BAM≌Rt△CDN(HL)． 　　∴BM＝CN＝(BC－MN)＝3， 　　由勾股定理得 　　AB＝CD＝＝＝5， 　　∴梯形的周長為26． 　　(2)c＝a＋b＋ 　　(3)過A作AF∥DB交CB的延長線于F，則四邊形ADBF是平行四邊形． 　　∴AF＝BD＝AC＝，BF＝AD＝3． 　　∵BC＝7，∴CF＝BF＋BC＝10 　　在△AFC中， 　　∵AF2＋AC2＝()2＋()2＝100，CF2＝102＝100，∴AF2＋AC2＝CF2，由勾股定理的逆定理知，△AFC是直角三角形， 　　∴AF⊥AC， 　　∵AF∥BD，∴AC⊥BD． 　　解析：(1)已知兩底的長，要求梯形的周長，關(guān)鍵是求兩腰，由于已知高為4，因此分別過A、D兩點向BC作垂線，垂足為M、N．則MA＝ND＝4，MN＝AD＝5，且Rt△ABM≌Rt△DCN，所以BM＝CN＝(BC－AD)＝3．根據(jù)勾股定理可求AB＝CD＝＝5，因此周長為26；(2)第二問是(1)的推廣；(3)證明兩對角線互相垂直時，通過平移對角線，把兩對角線集中到同一個三角形中，用勾股定理的逆定理證明這個三角形是直角三角形，從而證得結(jié)論． 　　警示誤區(qū)：證明及推理過程不嚴(yán)密，因果關(guān)系混亂是同學(xué)們易犯的錯誤，應(yīng)注意加強訓(xùn)練．