Question

【題目】已知拋物線y＝ax2+bx﹣a+b（a，b為常數(shù)，且α≠0）．

（1）當(dāng)a＝﹣1，b＝1時，求頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）求證：無論a，b取任意實(shí)數(shù)，此拋物線必經(jīng)過一個定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)；

（3）若a＜0，當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)在最低位置時：

①求a與b滿足的關(guān)系式；

②拋物線上有兩點(diǎn)（2，s），（m，t），當(dāng)s＜t時，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）頂點(diǎn)坐標(biāo)是（，）；（2）證明見解析，（﹣1，0）；（3）①b＝2a；②﹣4＜m＜2

【解析】

（1）代入a與b的值，確定函數(shù)解析式即可求頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）將表達(dá)式因式分解，可得到當(dāng)x=-1時，y=0時是函數(shù)過的頂點(diǎn)；

（3）由拋物線開口向下，當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)在最低位置時即是頂點(diǎn)是（-1，0）時，可求a、b關(guān)系；結(jié)合函數(shù)圖象即可求m的范圍．

（1）當(dāng)a＝﹣1，b＝1時，

∴y＝﹣x2+x+2=，

∴頂點(diǎn)坐標(biāo)是（，）；

（2）y＝ax2+bx﹣a+b＝（ax2﹣a）+（bx+b）＝a（x+1）（x﹣1）+b（x+1）＝（x+1）（ax﹣a+b），

當(dāng)x＝﹣1時，y＝0，

所以拋物線必經(jīng)過定點(diǎn)（﹣1，0）；

（3）①∵拋物線必經(jīng)過定點(diǎn)（﹣1，0），

∴當(dāng)a＜0，拋物線的頂點(diǎn)在最低位置時，即（﹣1，0）是拋物線的頂點(diǎn)，

此時﹣＝﹣1，

∴b＝2a；

②當(dāng)兩點(diǎn)（2，s），（m，t），在x＝﹣1右側(cè)時：

∵s＜t，

∴﹣1＜m＜2，

當(dāng)（m，t），在x＝﹣1左側(cè)時：

∵s＜t，

∴﹣4＜m＜﹣1，

綜上所述，﹣4＜m＜2時，s＜t．