Question

【題目】如圖，△ABC內接于⊙O，CD平分∠ACB交⊙O于D，過點D作PQ∥AB分別交CA、CB延長線于P、Q，連接BD．

（1）求證：PQ是⊙O的切線；

（2）求證：BD2=ACBQ；

（3）若AC、BQ的長是關于x的方程的兩實根，且tan∠PCD=，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)平行線的性質和圓周角定理得到∠ABD=∠BDQ=∠ACD，連接OB，OD，交AB于E，根據(jù)圓周角定理得到∠OBD=∠ODB，∠O=2∠DCB=2∠BDQ，根據(jù)三角形的內角和得到2∠ODB+2∠O=180°，于是得到∠ODB+∠O=90°，根據(jù)切線的判定定理即可得到結論；

（2）證明：連接AD，根據(jù)等腰三角形的判定得到AD=BD，根據(jù)相似三角形的性質即可得到結論；

（3）根據(jù)題意得到ACBQ=4，得到BD=2，由（1）知PQ是⊙O的切線，由切線的性質得到OD⊥PQ，根據(jù)平行線的性質得到OD⊥AB，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到BE=3DE，根據(jù)勾股定理得到BE的長，設OB=OD=R，根據(jù)勾股定理即可得到結論．

試題解析：（1）證明：∵PQ∥AB，∴∠ABD=∠BDQ=∠ACD，∵∠ACD=∠BCD，∴∠BDQ=∠ACD，如圖1，連接OB，OD，交AB于E，則∠OBD=∠ODB，∠O=2∠DCB=2∠BDQ，在△OBD中，∠OBD+∠ODB+∠O=180°，∴2∠ODB+2∠O=180°，∴∠ODB+∠O=90°，∴PQ是⊙O的切線；

（2）證明：如圖2，連接AD，由（1）知PQ是⊙O的切線，∴∠BDQ=∠DCB=∠ACD=∠BCD=∠BAD，∴AD=BD，∵∠DBQ=∠ACD，∴△BDQ∽△ACD，∴，∴BD2=ACBQ；

（3）解：方程可化為x2﹣mx+4=0，∵AC、BQ的長是關于x的方程的兩實根，∴ACBQ=4，由（2）得BD2=ACBQ，∴BD2=4，∴BD=2，由（1）知PQ是⊙O的切線，∴OD⊥PQ，∵PQ∥AB，∴OD⊥AB，由（1）得∠PCD=∠ABD，∵tan∠PCD=，∴tan∠ABD=，∴BE=3DE，∴DE2+（3DE）2=BD2=4，∴DE=，∴BE=，設OB=OD=R，∴OE=R﹣，∵OB2=OE2+BE2，∴R2=（R﹣）2+（）2，解得：R=，∴⊙O的半徑為．