Question

【題目】(2016廣西省南寧市第21題)在圖“書(shū)香八桂，閱讀圓夢(mèng)”讀數(shù)活動(dòng)中，某中學(xué)設(shè)置了書(shū)法、國(guó)學(xué)、誦讀、演講、征文四個(gè)比賽項(xiàng)目如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是角平分線，點(diǎn)O在AB上，以點(diǎn)O為圓心，OB為半徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E．

（1）求證：AC是⊙O的切線；

（2）若OB=10，CD=8，求BE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】(1)、證明過(guò)程見(jiàn)解析；(2)、12.

【解析】

試題分析：(1)、連接OD，由BD為角平分線得到一對(duì)角相等，根據(jù)OB=OD，等邊對(duì)等角得到一對(duì)角相等，等量代換得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，進(jìn)而確定出OD與BC平行，利用兩直線平行同位角相等得到∠ODA為直徑，即可得證；(2)、由OD與BC平行得到三角形OAD與三角形BAC相似，由相似得比例求出OA的長(zhǎng)，進(jìn)而確定出AB的長(zhǎng)，連接EF，過(guò)O作OG垂直于BC，利用勾股定理求出BG的長(zhǎng)，由BG+GC求出BC的長(zhǎng)，再由三角形BEF與三角形BAC相似，由相似得比例求出BE的長(zhǎng)即可．

試題解析：(1)、連接OD， ∵BD為∠ABC平分線， ∴∠1=∠2， ∵OB=OD， ∴∠1=∠3， ∴∠2=∠3，

∴OD∥BC， ∵∠C=90°， ∴∠ODA=90°， 則AC為圓O的切線；

(2)、過(guò)O作OG⊥BC， ∴四邊形ODCG為矩形， ∴GC=OD=OB=10，OG=CD=8，

在Rt△OBG中，利用勾股定理得：BG=6， ∴BC=BG+GC=6+10=16， ∵OD∥BC，

∴△AOD∽△ABC， ∴=，即=， 解得：OA=， ∴AB=+10=，

連接EF， ∵BF為圓的直徑， ∴∠BEF=90°， ∴∠BEF=∠C=90°， ∴EF∥AC，

∴=，即=， 解得：BE=12．