Question

14．如圖1，有兩個全等的直角三角形△ABC和△EDF，∠ACB=∠F=90°，∠A=∠E=30°，點D在邊AB上，且AD=BD=CD．△EDF繞著點D旋轉，邊DE，DF分別交邊AC于點M，K．
（1）如圖2、圖3，當∠CDF=0°或60°時，AM+CK=MK（填“＞”，“＜”或“=”），你的依據(jù)是等腰三角形三線合一；
（2）如圖4，當∠CDF=30°時，AM+CK＞MK（填“＞”或“＜”）；
（3）猜想：如圖1，當0°＜∠CDF＜60°時，AM+CK＞MK，試證明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）先證明△CDA是等腰三角形，再根據(jù)等腰三角形的性質證明AM+CK=MK；
（2）先證AM=MD、CK=KD，故AM+CK=MD+KD，在△MKD中，根據(jù)兩邊之和大于第三邊得AM+CK＞MK；
（3）作點A關于ED的對稱點G，連接GK，GM，GD．證明△GDK≌△CDK后，根據(jù)全等三角形的性質可得GK=CK，GM+GK＞MK，從而得到AM+CK＞MK．

解答 解：（1）在Rt△ABC中，D是AB的中點，
∴AD=BD=CD=$\frac{1}{2}$AB，∠B=∠BDC=60°
又∵∠A=30°，
∴∠ACD=60°-30°=30°，
又∵∠CDE=60°，或∠CDF=60°時，
∴∠CKD=90°，
∴在△CDA中，AM（K）=CM（K），即AM（K）=KM（C）（等腰三角形底邊上的垂線與中線重合），
∵CK=0，或AM=0，
∴AM+CK=MK；
（2）由（1），得∠ACD=30°，∠CDB=60°，
又∵∠A=30°，∠CDF=30°，∠EDF=60°，
∴∠ADM=30°，
∴AM=MD，CK=KD，
∴AM+CK=MD+KD，
∴在△MKD中，AM+CK＞MK，
（3）AM+CK＞MK，
證明：作點A關于ED的對稱點G，連接GK，GM，GD．

∵點G是點A關于直線DE的對稱點
∴AD=GD，GM=AM，∠GDM=∠ADM，
∵Rt△ABC 中，D是AB的中點，
∴AD=CD=GD．
∵∠A=∠E=30°，
∴∠CDA=120°，∠EDF=60°，
∴∠GDM+∠GDK=60°，∠ADM+∠CDK=60°，
∴∠GDK=∠CDK，
在△GDK和△CDK中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{GD=CD}\\{∠GDK=∠CDK}\\{DK=DK}\end{array}\right.$，
∴△GDK≌△CDK（SAS），
∴GK=CK，
∵GM+GK＞MK，
∴AM+CK＞MK．

點評 本題綜合考查了全等三角形的判定和性質及軸對稱圖形的性質的應用，將AM、CK轉移到同一個三角形中根據(jù)三邊關系來判斷AM+CK與MK的大小是關鍵．