Question

如圖，在△ABC中，D是BC邊上的一點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作BC的平行線交CE的延長(zhǎng)線于F，且AF=BD，連接BF。

（1）求證：D是BC的中點(diǎn)

（2）如果AB=AC，試判斷四邊形AFBD的形狀，并證明你的結(jié)論。

 

Answer 1

【答案】

(1)見(jiàn)解析；（2）矩形。

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等求出∠AFE=∠DCE，然后利用“角角邊”證明△AEF和△DEC全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AF=CD，再利用等量代換即可得證；

（2）先利用一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明四邊形AFBD是平行四邊形，再根據(jù)一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，可知∠ADB=90°，由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可知必須是AB=AC．

（1）∵AF∥BC，

∴∠AFE=∠DCE，

∵E是AD的中點(diǎn)，

∴AE=DE，

∵∠AEF=∠DEC，

∴△AEF≌△DEC（AAS），

∴AF=CD，

∵AF=BD，

∴BD=CD，

∴D是BC的中點(diǎn)；

（2）四邊形AFBD是矩形．

∵AF∥BD，AF=BD，

∴四邊形AFBD是平行四邊形，

∵AB=AC，BD=CD，

∴∠ADB=90°，

∴▱AFBD是矩形．

考點(diǎn)：本題考查了矩形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定

點(diǎn)評(píng)：明確有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形是解本題的關(guān)鍵．