Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線y=

3

3

x²先向右平移1個(gè)單位，再向下平移

4 3

3

個(gè)單位，得到新的拋物線y=ax²+bx+c，該拋物線與y軸交于點(diǎn)B，與x軸正半軸交于點(diǎn)C．
（1）求點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）如圖1，有一條與y軸重合的直線l向右勻速平移，移動(dòng)的速度為每秒1個(gè)單位，移動(dòng)的時(shí)間為t秒，直線l與拋物線y=ax²+bx+c交于點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，求出使△PBC的面積為2

3

的t值；
（3）如圖2，將直線BC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，與x軸交于點(diǎn)M（1，0），與拋物線y=ax²+bx+c交于點(diǎn)A，在y軸上有一點(diǎn)D（0，

2 3

3

），在x軸上另取兩點(diǎn)E，F(xiàn)（點(diǎn)E在點(diǎn)F的左側(cè)），EF=2，線段EF在x軸上平移，當(dāng)四邊形ADEF的周長最小時(shí)，先簡單描述如何確定此時(shí)點(diǎn)E的位置？再直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）根據(jù)條件即可寫出新拋物線的解析式，然后只需令x=0就可得到點(diǎn)B的坐標(biāo)，令y=0就可得到點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）過點(diǎn)P作PH⊥y軸于點(diǎn)H，如圖1，則有PH=t，然后運(yùn)用割補(bǔ)法表示出△BCP的面積，根據(jù)條件“△PBC的面積為2

3

”可用t的代數(shù)式表示出OH，從而得到點(diǎn)P的坐標(biāo)（用t的代數(shù)式表示），然后將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入新拋物線的解析式就可解決問題；
（3）由于AD、EF是定值，要使四邊形ADEF的周長最小，只需DE+AF最小，由于DE與AF不相連，可將AF向左平移2個(gè)單位到A′E，從而將問題轉(zhuǎn)化為DE+EA′最小，可作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D′，則有D′E=DE，從而將問題轉(zhuǎn)化為D′E+EA′最小，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知當(dāng)D′、E、A′三點(diǎn)共線時(shí)，D′E+EA′最��；要求四邊形ADEF的周長最小時(shí)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)E的坐標(biāo)，只需依次求出直線BM的解析式、點(diǎn)A的坐標(biāo)，點(diǎn)A′的坐標(biāo)，點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D′的坐標(biāo)，直線A′D′的解析式，直線A′D′與x軸的交點(diǎn)E′的坐標(biāo)，就可解決問題．

解答：解：（1）將拋物線y=

3

3

x²先向右平移1個(gè)單位，再向下平移

4 3

3

個(gè)單位，
得到新的拋物線的解析式為y=

3

3

（x-1）²-

4 3

3

．
當(dāng)x=0時(shí)，y=

3

3

-

4 3

3

=-

3

，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，-

3

）；
令y=0，得

3

3

（x-1）²-

4 3

3

=0，
解得：x₁=3，x₂=-1，
∵點(diǎn)C在x軸正半軸上，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，0）；

（2）過點(diǎn)P作PH⊥y軸于點(diǎn)H，如圖1，
由題可得PH=1×t=t．
∵點(diǎn)B（0，-

3

），點(diǎn)C（3，0），
∴OB=

3

，OC=3，
∴S_△BCP=S_梯形PHOC+S_△BOC-S_△PHB
=

1

2

（PH+OC）•OH+

1

2

OB•OC-

1

2

BH•PH
=

1

2

（t+3）•OH+

1

2

×

3

×3-

1

2

（OH+

3

）•t
=

3

2

OH+

3 3

2

-

3

2

t=2

3

，
解得：OH=

3

3

t+

3

3

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，

3

3

t+

3

3

）．
∵點(diǎn)P在拋物線y=

3

3

（x-1）²-

4 3

3

上，
∴

3

3

（t-1）²-

4 3

3

=

3

3

t+

3

3

，
解得：t₁=4，t₂=-1
∵點(diǎn)P在第一象限，
∴t=4；

（3）將點(diǎn)A向左平移2個(gè)單位到點(diǎn)A′，作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D′，連接A′D′，交x軸于點(diǎn)E′，
當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E′時(shí)，四邊形ADEF的周長最小，此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（

3

7

，0）．
解題思路如下：
先用待定系數(shù)法求出BM的解析式，為y=

3

x-

3

，
然后將直線BM與拋物線的解析式組成方程組，求出它們的一個(gè)交點(diǎn)A的坐標(biāo)，為（5，4

3

），
從而可得點(diǎn)A向左平移2個(gè)單位所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A′的坐標(biāo)，為（3，4

3

），
由點(diǎn)D（0，

2 3

3

）可得到該點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D′的坐標(biāo)，為（0，-

2 3

3

），
然后運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線A′D′的解析式，為y=

14 3

9

x-

2 3

3

，
然后令y=0，就可得到直線A′D′與x軸的交點(diǎn)E′的坐標(biāo)，為（

3

7

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、用待定系數(shù)法求直線的解析式、平移的性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)，運(yùn)用割補(bǔ)法是解決第（2）小題的關(guān)鍵，通過平移變換將不相連的兩條線段之和轉(zhuǎn)化為相連的兩條線段之和是解決第（3）小題的關(guān)鍵．