如圖,AB是半圓O的直徑,過(guò)半圓O上的一點(diǎn)D分別作AB的垂線與半圓O的切線,交直線AB于點(diǎn)E與點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)B平行于CD的直線交DE于點(diǎn)F,連接OD,BD.
(1)求證:BF=DF;
(2)若EF=3,,求線段BC的長(zhǎng).

【答案】分析:(1)若要證BF=DF,則需證∠BDE=∠DBF,∠BDC=∠DBF,再證∠BDC=∠BDE,由∠BDC+∠ODB=90°和∠BDE+∠OBD=90°即可證得.
(2)此題可先由(1)得∠BFE=∠BOD,在Rt△BEF中求得各邊的長(zhǎng),則DF也可求出,再由BF∥DC得=,解得BC的長(zhǎng).
解答:(1)證明:∵CD是切線,∴OD⊥CD,即∠BDC+∠ODB=90°.
∵DE⊥AB,∴∠BDE+∠OBD=90°.
∵OB=OD,∴∠OBD=∠ODB.
∴∠BDC=∠BDE.
又∵BF∥CD,∴∠BDC=∠DBF.
∴∠BDE=∠DBF.
∴BF=DF.

(2)解:∵∠BOD+∠ODE=90°,∠CDE+∠ODE=90°,
∴∠BOD=∠CDE.
又∵BF∥CD,∴∠BFE=∠CDE.
∴∠BOD=∠BFE.
在Rt△BEF中,∵,

∵BE2+EF2=BF2,∴
解得BF=5.∴BE=4,DF=5.
∵BF∥DC,∴=,得,

點(diǎn)評(píng):本題考查了切線的性質(zhì)、解直角三角形等綜合性問(wèn)題,難度稍大.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,AB是半圓O的直徑,AC是弦,點(diǎn)P從點(diǎn)B開始沿BA邊向點(diǎn)A以1cm/s的速度移動(dòng),若AB長(zhǎng)為10cm,點(diǎn)O到AC的距離為4cm.
(1)求弦AC的長(zhǎng);
(2)問(wèn)經(jīng)過(guò)幾秒后,△APC是等腰三角形.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知:如圖,AB是半圓O的直徑,OD是半徑,BM切半圓于點(diǎn)B,OC與弦AD平行交BM于點(diǎn)C.
(1)求證:CD是半圓O的切線;
(2)若AB的長(zhǎng)為4,點(diǎn)D在半圓O上運(yùn)動(dòng),當(dāng)AD的長(zhǎng)為1時(shí),求點(diǎn)A到直線CD的距離.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,AB是半圓O的直徑,點(diǎn)D是半圓上一動(dòng)點(diǎn),AB=10,AC=8,當(dāng)△ACD是等腰三角形時(shí),點(diǎn)D到AB的距離是
 

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,AB是半圓O的直徑,以O(shè)A為直徑的半圓O′與弦AC交于點(diǎn)D,O′E∥AC,并交OC于點(diǎn)E,則下列結(jié)論:①S△O′OE=
1
2
S△AOC2;②點(diǎn)D時(shí)AC的中點(diǎn);③
AC
=2AD;④四邊形O′DEO是菱形.其中正確的結(jié)論是( �。�

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,AB是半圓O的直徑,過(guò)點(diǎn)O作弦AD的垂線交半圓O于點(diǎn)E,F(xiàn)為垂足,交AC于點(diǎn)C使∠BED=∠C.請(qǐng)判斷直線AC與圓O的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

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