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(2008•莆田)已知矩形ABCD和點P,當點P在BC上任一位置(如圖(1)所示)時,易證得結論:PA2+PC2=PB2+PD2,請你探究:當點P分別在圖(2)、圖(3)中的位置時,PA2、PB2、PC2和PD2又有怎樣的數(shù)量關系請你寫出對上述兩種情況的探究結論,并利用圖(2)證明你的結論.
答:對圖(2)的探究結論為______;
對圖(3)的探究結論為______;
證明:如圖(2)
【答案】分析:結論均是PA2+PC2=PB2+PD2,其實要求證的是矩形性質中的矩形所在平面內(nèi)任一點到其兩對角線端點的距離的平方和相等.
根據(jù)矩形和直角三角形的性質,(2)如果過點P作MN⊥AD于點M,交BC于點N,可在Rt△AMP,Rt△BNP,Rt△DMP和Rt△CNP分別用勾股定理表示出PA2,PC2,PB2,PD2,然后我們可得出PA2+PC2與PB2+PD2,我們不難得出四邊形MNCD是矩形,于是,MD=NC,AM=BN然后我們將等式右邊的值進行比較發(fā)現(xiàn)PA2+PC2=PB2+PD2
(3)如圖(3)方法同(2),過點P作PQ⊥BC交AD,BC于O,Q,易證.
解答:解:結論均是PA2+PC2=PB2+PD2
(1)如圖2,過點P作MN⊥AD于點M,交BC于點N,

∵在矩形ABCD中,AD∥BC,MN⊥AD,
∴MN⊥BC;
∵在Rt△AMP中,PA2=PM2+MA2,在Rt△BNP中,PB2=PN2+BN2,
在Rt△DMP中,PD2=DM2+PM2,在Rt△CNP中,PC2=PN2+NC2
∴PA2+PC2=PM2+MA2+PN2+NC2,
PB2+PD2=PM2+DM2+BN2+PN2
∵MN⊥AD,MN⊥NC,DC⊥BC,
∴四邊形MNCD是矩形,
∴MD=NC,同理AM=BN,
∴PM2+MA2+PN2+NC2=PM2+DM2+BN2+PN2
即PA2+PC2=PB2+PD2

(2)如圖3,過點P作PQ⊥BC交AD,BC于O,Q,
∵在矩形ABCD中,AD∥BC,PQ⊥BC,
∴PQ⊥AD,
∵在Rt△AOP中,PA2=AO2+PO2,在Rt△PQB中,PB2=PQ2+QB2,
在Rt△POD中,PD2=DO2+PO2,在Rt△CQP中,PC2=PQ2+QC2
∴PA2+PC2=PO2+OA2+PQ2+QC2,
PB2+PD2=PQ2+QB2+DO2+PO2
∵PQ⊥AD,PQ⊥NC,DC⊥BC,
∴四邊形OQCD是矩形,
∴OD=QC,同理AO=BQ,
∴PA2+PC2=PB2+PD2
點評:本題主要運用矩形和直角三角形的性質,考查了矩形的性質中矩形所在平面內(nèi)任一點到其兩對角線端點的距離的平方和相等的證明方法.
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(2)已知AD=AB(D在線段AC上),有一動點P從點A沿線段AC以每秒1個單位長度的速度移動;同時另一個動點Q以某一速度從點B沿線段BC移動,經(jīng)過t秒的移動,線段PQ被BD垂直平分,求t的值;
(3)在(2)的情況下,拋物線的對稱軸上是否存在一點M,使MQ+MC有最小值?若存在,請求出點M的坐標;若不存在,請說明理由.(注:拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸為x=-

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