Question

如圖，邊長為3的正方形紙片ABCD，用剪刀沿PD剪下Rt△PCD，其中∠PDC=30°．
（1）求PC的長；
（2）若從余料（梯形ABPD）再剪下另一個(gè)Rt△PBQ，使點(diǎn)Q在AB上，則當(dāng)QB的長為多少時(shí)，△PBQ∽△DCP？

Answer 1

分析：（1）此題有兩種解法，法一：根據(jù)在Rt△PCD中，∠C=90°，∠PDC=30°，CD=3，利用銳角三角函數(shù)值即可求得答案．
法二：根據(jù)四邊形ABCD為正方形，∠C=90等已知條件求證PD=2PC，再設(shè)PC=x，利用勾股定理即可求得PC，
（2）此題有兩種解法，由（1）和由正方形ABCD可得∠B=∠C=90°根據(jù)當(dāng)

PB

DC

=

QB

PC

時(shí)△PBQ∽△DCP，可求出QB．
法二：由（1）可知，PC=

3

，可得BP，要使△PBQ∽△DCP，則必須有∠BPQ=∠CDP=30°再由tan∠BPQ=

BQ

BP

可求得QB．

解答：解：（1）法一：在Rt△PCD中，∠C=90°，∠PDC=30°，CD=3，
∵tan∠PDC=

PC

CD

，
∴PC=CD•tan∠PDC=3×

3

3

=

3

．

法二：∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠C=90°，
又∵∠PDC=30°，
∴PD=2PC，
設(shè)PC=x，則PD=2x，
在Rt△PCD中，由勾股定理得PC²+CD²=PD²x²+3²=（2x）²，
解得x=±

3

（舍去負(fù)值），
∴PC=

3

．

（2）法一：由（1）可知，PC=

3

．
∴PB=BC-PC=3-

3

，
又由正方形ABCD可得∠B=∠C=90°，
∴當(dāng)

PB

DC

=

QB

PC

時(shí)，△PBQ∽△DCP，
由

3- 3

3

=

QB

3

，
解得QB=

3

-1，
∴當(dāng)QB=

3

-1，時(shí)，△PBQ∽△DCP．
法二：由（1）可知，PC=

3

．
∴PB=BC-PC=3-

3

，
∵∠B=∠C=90°，
∴要使△PBQ∽△DCP，則必須有∠BPQ=∠CDP=30°，
在Rt△PBQ中，由tan∠BPQ=

BQ

BP

，可得
QB=BPtan∠BPQ=（3-

3

）×

3

3

=

3

-1，
故當(dāng)QB=

3

-1時(shí)，△PBQ∽△DCP．
答：（1）PC的長為

3

；
（2）當(dāng)QB的長為

3

-1時(shí)，△PBQ∽△DCP．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，有一定的拔高難度，利于學(xué)生系統(tǒng)的掌握知識(shí)．