Question

【題目】如圖，在 Rt△OAB 中，∠A=90°，∠ABO=30°，OB=，邊 AB的垂直平分線 CD 分別與 AB、x 軸、y 軸交于點(diǎn) C、E、D．

（1）求點(diǎn) E的坐標(biāo)；

（2）求直線 CD的解析式；

（3）在直線 CD上找一點(diǎn)Q使得三角形O，D，Q為等腰三角形，并求出所有的Q點(diǎn)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）E（，0）；（2）y=﹣ x+2；（3）使得三角形 O，D，Q 為等腰三角形的Q 點(diǎn) Z 坐標(biāo)為 Q1（1，﹣+2），Q2（﹣1，+2），Q3（，1），Q4（，﹣1）．

【解析】

根據(jù) DC 是 AB 垂直平分線，得出 C 點(diǎn)為 OB 的中點(diǎn)，再根據(jù) OB 的值，即可求出點(diǎn) E 的坐標(biāo)；

先過點(diǎn)C作 CH⊥x軸，在 Rt△ABO中，根據(jù)∠ABO 的度數(shù)和 OB 的值求出AB的長，再在 Rt△CBH 中，求出 OH 的值，得出點(diǎn) D 的坐標(biāo)，再設(shè)直線CD的解析式，得出 k，b的值，即可求出直線CD的解析式；

分三種情況討論，分別根據(jù)Q點(diǎn)的不同位置求出Q的坐標(biāo)即可．

（1）∵DC 是 AB 垂直平分線，OA 垂直 AB，

∴C 點(diǎn)為 OB 的中點(diǎn)，

∵∠A=90°，∠DCB=90°，

∴OA∥CD，

∴E 為 OB 的中點(diǎn)，

∵

∴

∴

（2）過點(diǎn) C 作 CH⊥x 軸于點(diǎn) H，

在 Rt△ABO 中，∠ABO=30°，

又∵CD 垂直平分 AB，

∴BC=1，在 Rt△CBH 中，

∴

∴

∵∠DGO=60°，

∴

∴

∴

設(shè)直線 CD 的解析式為：y=kx+b，則，

解得： ．

∴

存在；

設(shè)有三種情況；

當(dāng) OD=QD 時(shí)，

∵D（0，2），

即 4m2=22，解得；m=1 或 m=﹣1，

∴

當(dāng) OQ=DQ 時(shí)，則

解得：

當(dāng) OD=OQ 時(shí)，則 解得：m=0，或

∴

∴使得三角形 O，D，Q 為等腰三角形的Q 點(diǎn) Z 坐標(biāo)為