Question

已知a、b是正實數，那么，≥是恒成立的．

(1)由(－)²≥0恒成立，說明≥恒成立；

(2)填空：已知a、b、c是正實數，由≥恒成立，猜測：__也恒成立；

(3)如圖，已知AB是直徑，點P是弧上異于點A和點B的一點，PC⊥AB，垂足為C，AC＝a，BC＝b，由此圖說明恒成立．

Answer 1

答案：
解析：

分析．(1)由(－)2≥0，利用完全平方公式，即可證得恒成立； 　　(2)由a3＋b3＋c3－3abc＝(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2－ab－bc－ac)＝(a＋b＋c)[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]，可證得a3＋b3＋c3≥3abc，即可得也恒成立； 　　(3)首先證得Rt△APC∽Rt△PBC，由相似三角形的對應邊成比例，可求得PC的值，又由OP是半徑，可求得OP＝，然后由點到線的距離垂線段最短，即可證得恒成立． 　　解答．解：(1)∵(－)2≥0， 　　∴a－2＋b≥0，(1分) 　　∴a＋b≥2，(2分) 　　∴≥；(3分) 　　(2)(6分) 　　理由：a3＋b3＋c3－3abc 　　＝(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2－ab－bc－ac) 　�。�(a＋b＋c)(2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac) 　　＝(a＋b＋c)[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2] 　　∵a、b、c是正實數， 　　∴a3＋b3＋c3－3abc≥0， 　　∴a3＋b3＋c3≥3abc， 　　同理：也恒成立； 　　故答案為：； 　　(3)如圖，連接OP， 　　∵AB是直徑， 　　∴∠APB＝90°， 　　又∵PC⊥AB， 　　∴∠ACP＝∠ACB＝90°， 　　∴∠A＋∠B＝∠A＋∠APC＝90°， 　　∴∠APC＝∠B， 　　∴Rt△APC∽Rt△PBC， 　　∴， 　　∴PC2＝AC·CB＝ab， 　　∴PC＝，(7分) 　　又∵PO＝， 　　∵PO≥PC， 　　∴．(8分) 　　點評．此題考查了相似三角形的判定與性質、圓周角定理、幾何不等式的應用與證明以及完全平方公式等知識．此題綜合性較強，難度較大，注意數形結合思想的應用，注意完全平方式的非負性的應用．

提示：

考點．相似三角形的判定與性質；完全平方公式；一元一次不等式的應用；圓周角定理．