Question

【題目】已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AC為直徑的⊙O與BC交于點D，DE⊥AB，垂足為E，ED的延長線與AC的延長線交于點F．

（1）求證：DE是⊙O的切線；

（2）若⊙O的半徑為4，∠F＝30°，求DE的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）DE＝2．

【解析】

（1）連接OD，AD，根據D、O是BC、AC的中點，可得OD是△ABC的中位線，OD∥AB，∠ODE＝90°.

（2）先證明四邊形OGED是矩形，由∠AOG＝∠F＝30°，得DE＝OG＝2.

解：（1）連接OD，AD，

∵AC是⊙O直徑，

∴AD⊥BC，

∵AB＝AC，

∴點D是BC的中點，

∵O是AC的中點，

∴OD是△ABC的中位線，

∴OD∥AB，

∵DE⊥AB，

∴∠ODE＝∠BED＝90°，

∵OD是⊙O的半徑，

∴DE是⊙O的切線；

（2）過點O作OG⊥AB于點G，

∴∠AEF＝∠AGO＝90°，

∴OG∥EF，四邊形OGED是矩形，

∴∠AOG＝∠F＝30°，

∵OA＝4，

∴AG＝2，

由勾股定理可知：OG＝2，

∴DE＝OG＝2．