Question

（2011•河西區(qū)模擬）如圖，△ABC中，∠B=45°，O為AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)O作∠POQ=135°，且∠POQ與AB交于P，與BC交于Q
（1）若=1，=1，則=______．（如圖1）
（2）若=，=，求的值，寫出求解過(guò)程．（如圖2）
（3）若=，=，則=______．（如圖3）

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)四點(diǎn)共圓的性質(zhì)以及圓周角定理求出即可；
（2）過(guò)O作OM⊥BA的延長(zhǎng)線于M，O作ON⊥BC的于N，連BO，先證△OMP∽△ONQ，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)與相關(guān)三角形的面積比的關(guān)系求出的值；
（3）與（2）互逆．
解答：解：（1）∵∠B=45°，∠POQ=135°，
∴P，B，Q，O四點(diǎn)共圓，
∵=1，=1，
∴∠PBO=∠OBC，
∴PO=QO，
∴=1；

（2）過(guò)O作OM⊥BA的延長(zhǎng)線于M，O，作ON⊥BC的于N，連BO，
先證△OMP∽△ONQ，
得=，
又==，
即可得=；

（3）過(guò)O作OM⊥BA的延長(zhǎng)線于M，O作ON⊥BC的于N，連BO，
先證△OMP∽△ONQ，
得=，
∴=，
∴=．
點(diǎn)評(píng)：本題結(jié)合三角形的面積計(jì)算考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，其中（2）與（3）之間互為逆運(yùn)算．