Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是矩形，OA=4，AB=8，直線y=

1

2

x+3與x軸、y軸分別交于E和F，D是CB的中點(diǎn)，G是線段EF（包括端點(diǎn)）上的一點(diǎn)，且GH⊥AB．
（1）由已知可得，點(diǎn)D的坐標(biāo)為

 

；
（2）設(shè)點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為x，四邊形GHBD的面積為S，求S關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并注明x的取值范圍；
（3）①若點(diǎn)G在直線EF上移動(dòng)，是否存在這樣的點(diǎn)G，使D、C、G三點(diǎn)構(gòu)成的三角形為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)G的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由；
②若點(diǎn)G在線段EF上移動(dòng)，求當(dāng)以GD為直徑的⊙M與AB相切時(shí)，四邊形GHBD的面積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)矩形的長(zhǎng)、寬及D為BC的中點(diǎn)，直接寫出D點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）由已知得G（x，

1

2

x+3），由于x＜0，所以BH=8+x，BD=2，HG=4-（

1

2

x+3）=-

1

2

x+1，根據(jù)梯形的面積公式求S的表達(dá)式；
（3）①根據(jù)GD=GC，GD=DC，CG=CD三種情況，利用線段相等及勾股定理，列方程求解；
②M為DG的中點(diǎn)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得M（

x-8

2

，

1 2 x+3+2

2

），即M（

x-8

2

，

1

4

x+

5

2

），根據(jù)4-（

1

4

x+

5

2

）=

1

2

DG，列方程求x，把x的值代入S的表達(dá)式中求S．

解答：解：（1）點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-8，2）；

（2）S=

1

2

（BD+HG）•BH=

1

2

（3-

1

2

x）（8+x），即S=-

1

4

x²-

1

2

x+12，（-6≤x≤0）；

（3）①
1）若GD=GC，則

1

2

x+3=1，解得x=-4，
∴G₁（-4，1），
2）若DG=DC，則（x+8）²+（

1

2

x+1）²=4，
∵△＜0，
∴此方程無實(shí)根；
3）若CG=CD，則（x+8）²+（

1

2

x+3）²=4，
∴5x²+76x+276=0，x₁=-6，x₂=-9.2，
G₂（-6，0），G₃（-9.2，-1.6），
∴G點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，1），（-6，0），（-9.2，-1.6），；
②∵M(jìn)（

x-8

2

，

1

4

x+

5

2

），
∴4-（

1

4

x+

5

2

）=

1

2

(x+8)2+( 1 2 x+1)2

，
∴x²+20x+56=0，
∴x=-10±2

11

（舍去負(fù)值），
∴S=-

1

4

x²-

1

2

x+12=9

11

-19．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)的綜合運(yùn)用．關(guān)鍵是根據(jù)矩形的邊長(zhǎng)求相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)梯形的面積公式，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理求解．