Question

如圖，在直角梯形AOCB中，AB∥OC，∠AOC=90°，AB=1，AO=2，OC=3，以O(shè)為原點，OC、OA所在直線為軸建立坐標(biāo)系．拋物線頂點為A，且經(jīng)過點C．點P在線段AO上由A向點O運動，點O在線段OC上由C向點O運動，QD⊥OC交BC于點D，OD所在直線與拋物線在第一象限交于點E．

（1）求拋物線的解析式；
（2）點E′是E關(guān)于y軸的對稱點，點Q運動到何處時，四邊形OEAE′是菱形？
（3）點P、Q分別以每秒2個單位和3個單位的速度同時出發(fā)，運動的時間為t秒，當(dāng)t為何值時，PB∥OD？

Answer 1

解：（1）∵A（0，2）為拋物線的頂點，∴設(shè)y=ax²+2。
∵點C（3，0），在拋物線上，∴9a+2=0，解得：。
∴拋物線的解析式為；。
（2）若要四邊形OEAE′是菱形，則只要AO與EE′互相垂直平分，
∴EE′經(jīng)過AO的中點，∴點E縱坐標(biāo)為1，代入拋物線解析式得：，
解得：。
∵點E在第一象限，∴點E為（，1）。
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，
把B（1，2），C（3，0），代入得：，解得。
∴BC的解析式為：。
設(shè)直線EO的解析式為y=ax，將E點代入，可得出EO的解析式為：。
由，得：，
∴直線EO和直線BC的交點坐標(biāo)為：（，）。
∴Q點坐標(biāo)為：（，0）。
∴當(dāng)Q點坐標(biāo)為（，0）時，四邊形OEAE′是菱形。
（3）設(shè)t為m秒時，PB∥DO，又QD∥y軸，則有∠APB=∠AOE=∠ODQ，
又∵∠BAP=∠DQO，則有△APB∽△QDO。
∴。
由題意得：AB=1，AP=2m，QO=3﹣3m，
又∵點D在直線y=﹣x+3上，∴DQ=3m。
∴，解得：。
經(jīng)檢驗：是原分式方程的解。
∴當(dāng)t=秒時，PB∥OD。

解析