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3.已知:如圖1,△ABC和△CDE都是等腰直角三角形,且∠ACB=∠DCE=90°,O,M,N分別為AB,AD,BE的中點(diǎn),連接OM,ON,MN.
(1)求證:OM=ON,OM⊥ON.
(2)將圖1中△CDE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得圖2,記旋轉(zhuǎn)角為α(0°<α<180°).已知BC=2CD=6,求在旋轉(zhuǎn)過程中線段MN的最小值.

分析 (1)連結(jié)OC,如圖1,根據(jù)AC=BC,CD=CE,M,N分別為AD,BE的中點(diǎn),利用等線段代換可證明AM=CN,再根據(jù)三角形三角形斜邊上的中線性質(zhì)得到OC=OA,∠BOC=∠A=45°,∠AOC=90°,于是可根據(jù)“SAS”判斷△OCN≌△OAM,則ON=OM,∠CON=∠AOM,然后證明∠MON=90°得到OM⊥ON;
(2)連結(jié)BD,如圖2,先判斷△OMN為等腰直角三角形得到MN=2OM,再判斷OM為△ABD的中位線得到OM=12BD,則MN=22BD,所以當(dāng)BD的長最小時(shí),MN的長最小,由于點(diǎn)D在以C點(diǎn)為圓心,CD為半徑的圓上,則可判斷點(diǎn)B到⊙C的最短距離就是BD的最小值,此時(shí)點(diǎn)D在BC上,所以BD的最小值為3,則MN的最小值為322

解答 (1)證明:連結(jié)OC,如圖1,
∵△ABC和△CDE都是等腰直角三角形,
∴AC=BC,CD=CE,
∵M(jìn),N分別為AD,BE的中點(diǎn),
∴AM=12AD=12(AC-CD)=12(BC-CE)=12(BN+CN-CE)=12(NE+CN-CE)=12(NC+CE+CN-CE)=CN,
∵點(diǎn)O為等腰直角三角形斜邊AB的中點(diǎn),
∴OC=OA,∠BOC=∠A=45°,∠AOC=90°,
在△OCN和△OAM中
{OC=OAOCN=ACN=AM,
∴△OCN≌△OAM,
∴ON=OM,∠CON=∠AOM,
∵∠AOM+∠COM=90°,
∴∠COM+∠CON=90°,即∠MON=90°,
∴OM⊥ON;
(2)解:連結(jié)BD,如圖2,
∵OM=ON,∠MON=90°,
∴△OMN為等腰直角三角形,
∴MN=2OM,
∵點(diǎn)O、M分別為AB、AD的中點(diǎn),
∴OM為△ABD的中位線,
∴OM=12BD,
∴MN=22BD,
當(dāng)BD的長最小時(shí),MN的長最小,
∵點(diǎn)D在以C點(diǎn)為圓心,CD為半徑的圓上,
∴點(diǎn)B到⊙C的最短距離就是BD的最小值,此時(shí)點(diǎn)D在BC上,
∵BC=2CD=6,
∴BD的最小值為3,
∴MN的最小值為322

點(diǎn)評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì):對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等;對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角;旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.解決本題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用等腰直角三角形的性質(zhì).

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