Question

【題目】定義：只有一組對(duì)角是直角的四邊形叫做損矩形，連接它的兩個(gè)非直角頂點(diǎn)的線段叫做這個(gè)損矩形的直徑．如圖1，∠ABC＝∠ADC＝90°，四邊形ABCD是損矩形，則該損矩形的直徑是線段AC．同時(shí)我們還發(fā)現(xiàn)損矩形中有公共邊的兩個(gè)三角形角的特點(diǎn)：在公共邊的同側(cè)的兩個(gè)角是相等的．如圖1中：△ABC和△ABD有公共邊AB，在AB同側(cè)有∠ADB和∠ACB，此時(shí)∠ADB＝∠ACB；再比如△ABC和△BCD有公共邊BC，在CB同側(cè)有∠BAC和∠BDC，此時(shí)∠BAC＝∠BDC．

（1）請(qǐng)?jiān)趫D1中再找出一對(duì)這樣的角來：　 　＝　 　．

（2）如圖2，△ABC中，∠ABC＝90°，以AC為一邊向外作菱形ACEF，D為菱形ACEF對(duì)角線的交點(diǎn)，連接BD，當(dāng)BD平分∠ABC時(shí)，判斷四邊形ACEF為何種特殊的四邊形？請(qǐng)說明理由．

（3）在第（2）題的條件下，若此時(shí)AB＝6，BD＝8，求BC的長．

Answer 1

【答案】（1）∠ABD＝∠ACD（或∠DAC＝∠DBC ）；（2）四邊形ACEF為正方形，理由見解析；（3）10

【解析】

(1)根據(jù)題意給出的性質(zhì)即可得出一組角相等;

(2)先證明四邊形ACEF為菱形,再證明四邊形ABCD為損矩形,根據(jù)損矩形的性質(zhì)即可求出四邊形ACEF是正方形;

(3)過點(diǎn)D作DM⊥BC，過點(diǎn)E作EN⊥BC交BC的延長線于點(diǎn)N,可得△BDM為等腰直角三角形,從而得出△ABC≌△CNE根據(jù)性質(zhì)即可得出BC的長．

(1)由圖1得：△ABD和△ADC有公共邊AD，在AD同側(cè)有∠ABD和∠ACD，此時(shí)∠ABD＝∠ACD；

故答案為：∠ABD＝∠ACD(或∠DAC＝∠DBC )；

(2)四邊形ACEF為正方形

證明：∵∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠CBD＝45°，

∵四邊形ACEF為菱形，

∴AE⊥CF，即∠ADC＝90°，

∵∠ABC＝90°，

∴四邊形ABCD為損矩形，

由(1)得∠ACD＝∠ABD＝45°，

∴∠ACE＝2∠ACD＝90°，

∴四邊形ACEF為正方形．

(3)過點(diǎn)D作DM⊥BC，過點(diǎn)E作EN⊥BC交BC的延長線于點(diǎn)N，

∵∠DBM＝45°，

∴△BDM為等腰直角三角形，

∴BM＝DM＝，

∵AC＝EC，∠ACE＝90°，∠ABC＝CNE＝90°，

∴∠ACB＝∠CEN，

∴△ABC≌△CNE(AAS)，

∴CN＝AB＝6，

∵DM∥EN，AD＝DE，

∴BM＝MN＝8，

∴BC＝BN﹣CN＝2BM﹣CN＝10．