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如圖,正方形ABCD的邊長為1,AB、AD上各有一點P、Q,△APQ的周長為2,求∠PCQ.
為了解決這個問題,我們在正方形外以BC和AB延長線為邊作△CBE,使得△CBE≌△CDQ(如精英家教網圖)
(1)△CBE可以看成由△CDQ怎樣運動變化得到的?
(2)圖中PQ與PE的長度有什么關系?為什么?
(3)請用(2)的結論證明△PCQ≌△PCE;
(4)根據以上三個問題的啟發(fā),求∠PCQ的度數.
(5)對于題目中的點Q,若Q恰好是AD的中點,求BP的長.
分析:(1)△CBE可以看成是由△CDQ旋轉得到的;
(2)由旋轉可知△CEB≌△CDQ,根據全等三角形的對應邊相等得到DQ=BE,由正方形的變成為1易知AQ=1-DQ=1-BE,AP=1-BP,又有△APQ的周長為2,可求出PQ=PE;
(3)由(2)得到的PQ=PE,由△CEB≌△CDQ得到一對對應邊相等,再由CP為公共邊,根據SSS判定△PCQ≌△PCE;
(4)利用△PCQ≌△PCE得出∠PCQ=∠PCE,又有∠BCE=∠QCD,得出∠PCQ的度數是∠DCB度數的一半,由∠DCB為直角即可求出∠PCQ的度數;
(5)由Q為AD的中點,根據正方形的邊長為1,求出DQ與AQ的長,又△CEB≌△CDQ,得到BE=DQ,從而求出BE的長,再由△PCQ≌△PCE得到PE=PQ,設PB為x,用PB+BE表示出PE即為PQ的長,且表示出AP的長,在直角三角形APQ中,根據勾股定理列出關于x的方程,求出方程的解得到x的值,即為BP的長.
解答:解:(1)△CBE可以看成是由△CDQ沿逆時針旋轉90°得到的;

(2)∵△CBE≌△CDQ,正方形的邊長為1,
∴AQ=1-DQ=1-BE,AP=1-BP,
又∵AP+AQ+PQ=2,
∴1-BE+1-BP+PQ=2,即2-PE+PQ=2,
∴PE=PQ;

(3)∵△CBE≌△CDQ,
∴QC=EC,
在△PCQ和△PCE中,
PQ=PE
CP=CP
QC=EC

∴△PCQ≌△PCE(SSS);

(4)∵△PCQ≌△PCE,
∴∠PCQ=∠PCE,
又∵∠BCE=∠QCD,
∴∠QCD+∠PCB=∠PCQ,
又∵∠DCB=90°,
∴∠PCQ=
1
2
×90°=45°;

(5)若Q為AD中點,得到DQ=AQ=
1
2
AD=
1
2
,
∵△CBE≌△CDQ,∴BE=DQ=
1
2
,
設BP=x,則AP=1-x,
∵△PCQ≌△PCE,∴QP=PE=PB+BE=x+
1
2
,
在Rt△APQ中,根據勾股定理得:PQ2=AQ2+AP2,
即(x+
1
2
2=(
1
2
2+(1-x)2,
化簡得:x2+x+
1
4
=
1
4
+1-2x+x2,即3x=1,解得x=
1
3

則BP的長為
1
3
點評:本題考查了圖形的旋轉、全等三角形的判定與性質、正方形的性質等知識.要求學生掌握圖形的三種變換:平移、旋轉、軸對稱都只是改變圖形的位置,不改變形狀和大小,從而由旋轉得到△CBE≌△CDQ,是本題的突破點,第四問利用轉化的思想來求解,第五問在求BP長時,利用勾股定理列出方程,利用方程的思想來求解.
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