Question

【題目】已知拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點A（﹣1，0），與y軸的交點在（0，2），（0，3）之間（包含端點），頂點坐標為（1，n），則下列結論：

①2a+b＜0；

②﹣1≤a≤﹣；

③對于任意實數(shù)m，a（m2﹣1）+b（m﹣1）≤0總成立；

④關于x的方程ax2+bx+c＝n+1有兩個不相等的實數(shù)根．

其中結論正確的序號是_____．

Answer 1

【答案】②③．

【解析】

由對稱軸、頂點坐標和y軸交點坐標代入可得b=-2a，c=-3a可判斷①②，對函數(shù)圖像得最大值進行分析可以判斷③④．

如圖，

∵拋物線的頂點坐標為（1，n），

∴拋物線的對稱性為直線x＝﹣＝1，

∴b＝﹣2a，

∴2a+b＝0，所以①錯誤；

∵拋物線與x軸交于點A（﹣1，0），

∴a﹣b+c＝0，

∴c＝b﹣a＝﹣2a﹣a＝﹣3a，

∵拋物線與y軸的交點在（0，2），（0，3）之間（包含端點），

∴2≤c≤3，即2≤﹣3a≤3，

∴﹣1≤a≤﹣，所以②正確；

∵當x＝1時，y有最大值，

∴a+b+c≥am2+bm+c（m為任意實數(shù)），

即a（m2﹣1）+b（m﹣1）≤0，所以③正確；

∵拋物線的頂點坐標為（1，n），

∴直線y＝n與拋物線只有一個交點，

∴直線y＝n+1與拋物線沒有公共點，

∴關于x的方程ax2+bx+c＝n+1沒有實數(shù)根，所以④錯誤．

故答案為②③．