如圖,在直角坐標(biāo)系中,已知點A(0,1),B(-4,4),將點B繞點A順時針方向90°得到點C;頂點在坐標(biāo)原點的拋物線經(jīng)過點B.
(1)求拋物線的解析式和點C的坐標(biāo);
(2)拋物線上一動點P,設(shè)點P到x軸的距離為,點P到點A的距離為,試說明;
(3)在(2)的條件下,請?zhí)骄慨?dāng)點P位于何處時,△PAC的周長有最小值,并求出△PAC的周長的最小值.
解:
解:(1)設(shè)拋物線的解析式:,
∵拋物線經(jīng)過點B(-4,4),
∴4=a•42,解得a=,
所以拋物線的解析式為:;
過點B作BE⊥y軸于E,過點C作CD⊥y軸于D,如圖,
∵點B繞點A順時針方向90°得到點C,
∴Rt△BAE≌Rt△ACD,
∴AD=BE=4,CD=AE=OE-OA=4-1=3,
∴OD=AD+OA=5,
∴C點坐標(biāo)為(3,5);
(2)設(shè)P點坐標(biāo)為(a,b),過P作PF⊥y軸于F,PH⊥x軸于H,如圖,
∵點P在拋物線上,
∴,
∴,
∵AF=OF-OA=PH-OA=,PF=a,
在Rt△PAF中,PA=,
∴;
(3)由(1)得AC=5,
∴△PAC的周長=PC+PA+5
=PC+PH+6,
要使PC+PH最小,則C、P、H三點共線,
∴此時P點的橫坐標(biāo)為3,把x=3代入,得到,
即P點坐標(biāo)為(3,),此時PC+PH=5,
∴△PAC的周長的最小值=5+6=11.
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PP′ |
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6 |
x |
3 |
2 |
6 |
x |
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