Question

(1)如圖24­3­7(1)，在圓內(nèi)接△ABC中，AB＝BC＝CA，OD，OE為⊙O的半徑，OD⊥BC于點(diǎn)F，OE⊥AC于點(diǎn)G，求證：陰影部分四邊形OFCG的面積是△ABC面積的；

(2)如圖24­3­7(2)，若∠DOE保持120°不變，求證：當(dāng)∠DOE繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)時(shí)，由兩條半徑和△ABC的兩條邊圍成的圖形(圖中陰影部分)面積始終是△ABC面積的.

               

(1)                          (2)

Answer 1

證明：(1)連接OA，OC.

∵點(diǎn)O是等邊三角形ABC的外心，

∴Rt△OFC≌Rt△OGC≌Rt△OGA.

∴S_{四邊形OFCG}＝2S_△OFC＝S_△OAC.

∵S_△OAC＝S_△ABC，

∴S_{四邊形OFCG}＝S_△ABC.

(2)如圖D37，連接OA，OB和OC.

圖D37

則△AOC≌△COB≌△BOA，∠1＝∠2.

不妨設(shè)OD交BC于點(diǎn)F，OE交AC于點(diǎn)G.

∵∠AOC＝∠3＋∠4＝120°，

∠DOE＝∠5＋∠4＝120°，

∴∠3＝∠5.

在△OAG和△OCF中，

∴△OAG≌△OCF.

∴S_{四邊形OFCG}＝S_△AOC＝S_△ABC.