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(2010•越秀區(qū)一模)如圖,直角梯形ABCD中,AB⊥BC,AD∥BC,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn),且AD+BC=DC、下列結(jié)論中:①△ADE∽△BEC;②DE2=DA•DC;③若設(shè)AD=a,CD=b,BC=c,則關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根;④若設(shè)AD=a,AB=b,BC=c,則關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0有兩個相等的實(shí)數(shù)根.其中正確的結(jié)論有( )個.
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021230132436976559/SYS201310212301324369765008_ST/images0.png)
A.1個
B.2個
C.3個
D.4個
【答案】分析:過E作梯形兩底的平行線EF,交CD于F;由梯形的中位線定理知AD+BC=2EF,故DC=2EF,由于F是CD的中點(diǎn),即可證得△DEC是直角三角形,然后根據(jù)得到這個條件對四個結(jié)論逐一判斷.
解答:
解:過E作EF∥AD∥BC;
∵E是AB的中點(diǎn),
∴EF是梯形ABCD的中位線,即AD+BC=2EF,F(xiàn)是CD的中點(diǎn);
又∵AD+BC=CD,
∴CD=2EF,又F是CD的中點(diǎn),
易得△DEC是直角三角形,即∠DEC=90°;由于AD∥EF,且F是Rt△EDC斜邊CD的中點(diǎn)(即FE=FD),
∴∠ADE=∠FED=∠FDE,
過E作EG⊥CD,
∵∠A=∠EGD=90°,∠ADE=∠GDE,DE=DE,
∴△ADE≌△DEG,同理可證△BEC≌△GEC;
①∵∠DEC=90°,
∴∠AED+∠BEC=90°,又∠ADE+∠AED=90°,
∴∠ADE=∠BEC,又∠A=∠B,
∴△ADE∽△BEC,故①正確;
②在Rt△DEC中,EG⊥CD,由射影定理得:DE2=DG•DC,
由于AD=DG,所以DE2=DA•DC,故②正確;
③若AD=a,CD=b,BC=c,則由:
a+c=b,即c=b-a;
∴關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0根的判別式為:
△=b2-4ac=b2-4a(b-a)=b2-4ab+4a2=(b-2a)2;
由于EF≠AD,即CD≠2AD,b≠2a,
∴△=(b-2a)2>0,
即方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根,故③正確;
④在Rt△EDC中,EG=AE=
AB=
b,DG=AD=a,CG=BC=c;
由射影定理得:EG2=DG•CG,即(
b)2=ac,即b2=4ac,b2-4ac=0;
所以關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0有兩個相等的實(shí)數(shù)根.故④正確;
因此正確的結(jié)論有4個,
故選D.
點(diǎn)評:此題考查的知識點(diǎn)有:直角梯形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、梯形中位線定理以及根的判別式等知識,解此題的關(guān)鍵有兩步:①證明△DEC是直角三角形,②通過輔助線構(gòu)造出全等三角形.
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A.1個
B.2個
C.3個
D.4個
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