已知:如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,A、B兩點(diǎn)分別在x軸,y軸的正半軸上,點(diǎn)A(6,0),∠BAO=30°.
(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)點(diǎn)P是線段AB上的動點(diǎn),若使△POA為等腰三角形,求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)Q,使得以Q、O、B為頂點(diǎn)的三角形與△OAB相似?若存在,請求出所有符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

解:(1)在Rt△AOB中,OB=OA•tan30°=6×=2,
則B坐標(biāo)為(0,2);

(2)P為線段AB上的動點(diǎn),若使△POA為等腰三角形,則有OP=PA或PA=AO兩種情況,如圖1所示,
①當(dāng)OP1=P1A時,連接OP1,作P1C1⊥OA,則C1為AO的中點(diǎn),P1C1為△AOB的中位線,
∴P1C1=BO=,OC1=OA=3,此時P1(3,);
②當(dāng)P2A=AO時,連接OP2,作P2C2⊥OA,
∵P2A=AO=6,∠P2AO=30°,
∴在Rt△P2AC中,P2C=P2A=3,AC2=P2Acos30°=3,
則OC2=OA-C2A=6-3,即P2(6-3,3);

(3)當(dāng)∠OBQ為直角時,如圖2所示,
①若△BQO∽△OAB,則∠BOQ=∠OAB=30°,
則BQ=OBtan30°=2,即Q(2,2);
②若△BQO∽△OAB時,則∠BOQ=∠OAB=30°,
BQ=OBtan60°=2×=6,即Q(6,2);
當(dāng)∠CQB為直角時,如圖3所示,
③過O作OQ⊥AB,此時△QOB∽△OAB,
∠BOQ=∠BAO=30°,
在Rt△OQB中,BQ=OA=,OQ=OBcos30°=3,
∵在Rt△QMO中,∠OQM=30°,
∴OM=OQ=,QM=OQcos30°=,即Q(,);
④若△QBO∽△OAB時,則∠OBQ=∠OAB=30°,作QN⊥OA,∠QON=30°,如圖4所示,
∴QN=OQ=×OB=,ON=OQcos30°=,即Q(,);
當(dāng)∠BOQ為直角時,Q在x軸上,不符合要求,
綜上,符合題意的點(diǎn)Q有四個,分別為Q1(2,2),Q2(6,2),Q3,),Q4,).
分析:(1)在直角三角形AOB中,由OA與tan30°的值求出OB的長,即可確定出B的坐標(biāo);
(2)P為線段AB上的動點(diǎn),若使△POA為等腰三角形,則有OP=PA或PA=AO兩種情況,如圖1所示,①當(dāng)OP1=P1A時,連接OP1,作P1C1⊥OA,則C1為AO的中點(diǎn),P1C1為△AOB的中位線,求出P1C1與OC1的長,確定出此時P1的坐標(biāo);
②當(dāng)P2A=AO時,連接OP2,作P2C2⊥OA,可得出P2A=AO=6,∠P2AO=30°,在Rt△P2AC中,求出P2C與AC2的長,進(jìn)而確定出OC2的長,確定出此時P2的坐標(biāo)即可;
(3)分三種情況考慮:當(dāng)∠OBQ為直角時,如圖2所示,再分兩種情況考慮:①若△BQO∽△OAB;②若△BQO∽△OAB時,分別求出Q的坐標(biāo);當(dāng)∠CQB為直角時,如圖3所示,再分兩種情況考慮:③過O作OQ⊥AB,此時△QOB∽△OAB,
④若△QBO∽△OAB時,分別求出Q的坐標(biāo);當(dāng)∠BOQ為直角時,經(jīng)檢驗(yàn)不合題意,綜上,得到所有滿足題意Q的坐標(biāo).
點(diǎn)評:此題考查了一次函數(shù)綜合題,涉及的知識有:銳角三角函數(shù)定義,含30度直角三角形的性質(zhì),中位線定理,相似三角形的性質(zhì),坐標(biāo)與圖形性質(zhì),利用了分類討論及數(shù)形結(jié)合的思想,第二、三問分別根據(jù)P與Q的不同位置分類求解.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直y=
3
2
x+b
與雙曲線y=
16
x
相交于第一象限內(nèi)的點(diǎn)A,AB、AC分別垂直于x軸、y軸,垂足分別為B、C,已知四邊形ABCD是正方形,求直線所對應(yīng)的一次函數(shù)的解析式以及它與x軸的交點(diǎn)E的坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,原點(diǎn)O處有一乒乓球發(fā)射器向空中發(fā)射乒乓球,乒乓球飛行路線是一條拋物線,在地面上落點(diǎn)落在X軸上為點(diǎn)B.有人在線段OB上點(diǎn)C(靠點(diǎn)B一側(cè))豎直向上擺放無蓋的圓柱形桶,試圖讓乒乓球落入桶內(nèi).已知OB=4米,OC=3米,乒乓球飛行最大高度MN=5米,圓柱形桶的直徑為0.5,高為0.3米(乒乓球的體積和圓柱形桶的厚度忽略不計(jì)).
(1)求乒乓球飛行路線拋物線的解析式;
(2)如果豎直擺放5個圓柱形桶時,乒乓球能不能落入桶內(nèi)?
(3)當(dāng)豎直擺放圓柱形桶
8,9,10,11或12
8,9,10,11或12
個時,乒乓球可以落入桶內(nèi)?(直接寫出滿足條件的一個答案)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知,如圖1,在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),直線l1:y=-x+4與坐標(biāo)軸分別相交于點(diǎn)A、B,與直線l2y=
13
x
相交于點(diǎn)C.
(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo);
(2)如圖1,平行于y軸的直線x=1交直線l1于點(diǎn)E,交直線l2于點(diǎn)D,平行于y軸的直x=a交直線l1于點(diǎn)M,交直線l2于點(diǎn)N,若MN=2ED,求a的值;
(3)如圖2,點(diǎn)P是第四象限內(nèi)一點(diǎn),且∠BPO=135°,連接AP,探究AP與BP之間的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

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已知:直角梯形AOBC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖,若AC∥OB,OC平分∠AOB,CB⊥x軸于B,點(diǎn)A坐標(biāo)為(3 ,4). 點(diǎn)P從原點(diǎn)O開始以2個單位/秒速度沿x軸正向運(yùn)動 ;同時,一條平行于x軸的直線從AC開始以1個單位/秒速度豎直向下運(yùn)動 ,交OA于點(diǎn)D,交OC于點(diǎn)M,交BC于點(diǎn)E. 當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時,直線也隨即停止運(yùn)動.

(1)求出點(diǎn)C的坐標(biāo);
(2)在這一運(yùn)動過程中, 四邊形OPEM是什么四邊形?請說明理由。若
用y表示四邊形OPEM的面積 ,直接寫出y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式及t的
范圍;并求出當(dāng)四邊形OPEM的面積y的最大值?
(3)在整個運(yùn)動過程中,是否存在某個t值,使⊿MPB為等腰三角形?
若有,請求出所有滿足要求的t值.

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如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,原點(diǎn)O處有一乒乓球發(fā)射器向空中發(fā)射乒乓球,乒乓球飛行路線是一條拋物線,在地面上落點(diǎn)落在X軸上為點(diǎn)B.有人在線段OB上點(diǎn)C(靠點(diǎn)B一側(cè))豎直向上擺放無蓋的圓柱形桶,試圖讓乒乓球落入桶內(nèi).已知OB=4米,OC=3米,乒乓球飛行最大高度MN=5米,圓柱形桶的直徑為0.5,高為0.3米(乒乓球的體積和圓柱形桶的厚度忽略不計(jì)).
(1)求乒乓球飛行路線拋物線的解析式;
(2)如果豎直擺放5個圓柱形桶時,乒乓球能不能落入桶內(nèi)?
(3)當(dāng)豎直擺放圓柱形桶______個時,乒乓球可以落入桶內(nèi)?(直接寫出滿足條件的一個答案)

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