如圖,已知AD∥BC,AB=CD,對角線CA平分∠BCD,AD=5,tanB=.求:BC的長.

【答案】分析:作梯形的兩條高,構(gòu)造了一個(gè)矩形和兩個(gè)直角三角形.根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)得到等腰三角形ACD,即CD=AD=5.再根據(jù)銳角三角函數(shù)的概念得到AE:BE,結(jié)合勾股定理得到BE:AB=3:5,從而求得BE的長,再進(jìn)一步計(jì)算出CF和EF的長.
解答:解:如圖,
∵AC平分∠BCD,
∴∠1=∠2.
∵AD∥BC,
∴∠2=∠3.
∴∠1=∠3.
∴AD=DC.∵AD=5,AB=DC,
∴AD=DC=AB=5.
過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E,過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F.
∴∠AEB=90°.
在Rt△AEB中,
tanB==
設(shè)AE=4x,則BE=3x.
∵AB=5,
∴(3x)2+(4x)2=52
∴x=1(負(fù)值舍去).
∴AE=4,BE=3.同理可得FC=3.
∵AE⊥BC,DF⊥BC,
∴AE∥DF.
∵AD∥BC,
∴四邊形AEFD是平行四邊形.
∴EF=AD=5.
∴BC=11.
點(diǎn)評:作兩高也是梯形中常見的輔助線之一.能夠發(fā)現(xiàn)等腰三角形,運(yùn)用銳角三角函數(shù)的知識得到邊之間的關(guān)系,從而求得該梯形的下底.
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9、如圖,已知AD∥BC,∠1=∠2,∠A=112°,且BD⊥CD,則∠ABC=
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,∠C=
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∠A=∠B
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