Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，AB＝OB＝8，∠ABO＝90°，∠yOC＝45°，射線OC以每秒2個單位長度的速度向右平行移動，當射線OC經過點B時停止運動，設平行移動x秒后，射線OC掃過Rt△ABO的面積為y．

（1）求y與x之間的函數關系式；

（2）當x＝3秒時，射線OC平行移動到O′C′，與OA相交于G，如圖2，求經過G，O，B三點的拋物線的解析式；

（3）現(xiàn)有一動點P在（2）中的拋物線上，試問點P在運動過程中，是否存在△POB的面積S＝8的情況？若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2；（2）y＝﹣x2+x；（3）點P的坐標為（4﹣，2）或（4+，2）或（4﹣，﹣2）或（4+，﹣2）時，△POB的面積S＝8．

【解析】

（1）判斷出△ABO是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質可得∠AOB＝45°，然后求出AO⊥CO，再根據平移的性質可得AO⊥C′O′，從而判斷出△OO′G是等腰直角三角形，然后根據等腰直角三角形的性質列式整理即可得解；

（2）求出OO′，再根據等腰直角三角形的性質求出點G的坐標，然后設拋物線解析式為y＝ax2+bx，再把點B、G的坐標代入，利用待定系數法求二次函數解析式解答；

（3）設點P到x軸的距離為h，利用三角形的面積公式求出h，再分點P在x軸上方和下方兩種情況，利用拋物線解析式求解即可．

（1）∵AB＝OB，∠ABO＝90°，

∴△ABO是等腰直角三角形，

∴∠AOB＝45°，

∵∠yOC＝45°，

∴∠AOC＝（90°﹣45°）+45°＝90°，

∴AO⊥CO，

∵C′O′是CO平移得到，

∴AO⊥C′O′，

∴△OO′G是等腰直角三角形，

∵射線OC的速度是每秒2個單位長度，

∴OO′＝2x，

∴其以OO′為底邊的高為x，

∴y＝×（2x）x＝x2；

（2）當x＝3秒時，OO′＝2×3＝6，

∵×6＝3，

∴點G的坐標為（3，3），

設拋物線解析式為y＝ax2+bx，

則，

解得，

∴拋物線的解析式為y＝；

（3）設點P到x軸的距離為h，

則S△POB＝×8h＝8，

解得h＝2，

當點P在x軸上方時，＝2，

整理得，x2﹣8x+10＝0，

解得x1＝4﹣，x2＝4+，

此時，點P的坐標為（4﹣，2）或（4+，2）；

當點P在x軸下方時，＝﹣2，

整理得，x2﹣8x﹣10＝0，

解得x1＝4﹣，x2＝4+，

此時，點P的坐標為（4﹣，﹣2）或（4+，﹣2），

綜上所述，點P的坐標為（4﹣，2）或（4+，2）或（4﹣，﹣2）或（4+，﹣2）時，△POB的面積S＝8．