Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線(xiàn)y=mx²+2mx+n經(jīng)過(guò)P（，5），A（0，2）兩點(diǎn)．
（1）求此拋物線(xiàn)的解析式；
（2）設(shè)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為B，將直線(xiàn)AB沿y軸向下平移兩個(gè)單位得到直線(xiàn)l，直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸交于C點(diǎn)，求直線(xiàn)l的解析式；
（3）在（2）的條件下，求到直線(xiàn)OB，OC，BC距離相等的點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）把P，A坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)解析式即可．
（2）先設(shè)出平移后的直線(xiàn)l的解析式，然后根據(jù)（1）的拋物線(xiàn)的解析式求出C點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將C點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線(xiàn)l中即可得出直線(xiàn)l的解析式．
（3）本題關(guān)鍵是找出所求點(diǎn)的位置，根據(jù)此點(diǎn)到直線(xiàn)OB、OC、BC的距離都相等，因此這類(lèi)點(diǎn)應(yīng)該有4個(gè)，均在△OBC的內(nèi)角平分線(xiàn)上（△OBC外有3個(gè)，三條角平分線(xiàn)的交點(diǎn)是一個(gè)），可據(jù)此來(lái)求此點(diǎn)的坐標(biāo)．
解答：解：（1）根據(jù)題意得，
解得，
所以?huà)佄锞�(xiàn)的解析式為：．

（2）由得拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為B（，1），
依題意，可得C（，-1），且直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)，
設(shè)直線(xiàn)的解析式為y=kx，則，
解得，
所以直線(xiàn)l的解析式為．

（3）到直線(xiàn)OB、OC、BC距離相等的點(diǎn)有四個(gè)，如圖，
由勾股定理得OB=OC=BC=2，所以△OBC為等邊三角形．
易證x軸所在的直線(xiàn)平分∠BOC，y軸是△OBC的一個(gè)外角的平分線(xiàn)，
作∠BCO的平分線(xiàn)，交x軸于M₁點(diǎn)，交y軸于M₂點(diǎn)，
作△OBC的∠BCO相鄰?fù)饨堑慕瞧椒志�(xiàn)，交y軸于M₃點(diǎn)，
反向延長(zhǎng)線(xiàn)交x軸于M₄點(diǎn)，可得點(diǎn)M₁，M₂，M₃，M₄就是到直線(xiàn)OB、OC、BC距離相等的點(diǎn)．
可證△OBM₂、△BCM₄、△OCM₃均為等邊三角形，可求得：
①OM₁==×2=，所以點(diǎn)M₁的坐標(biāo)為（，0）．
②點(diǎn)M₂與點(diǎn)A重合，所以點(diǎn)M₂的坐標(biāo)為（0，2），
③點(diǎn)M₃與點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，所以點(diǎn)M₃的坐標(biāo)為（0，-2），
④設(shè)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸與x軸的交點(diǎn)為N，
M₄N=，且ON=M₄N，
所以點(diǎn)M₄的坐標(biāo)為（，0）
綜合所述，到直線(xiàn)OB、OC、BC距離相等的點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：
M₁（，0）、M₂（0，2）、M₃（0，-2）、M₄（，0）．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定，一次函數(shù)的平移以及角平分線(xiàn)定理的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)．綜合性強(qiáng)，能力要求較高．考查學(xué)生分類(lèi)討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．