Question

如圖，在等腰△ABC中，AB=AC，將△ABC沿DE折疊，使底角頂點(diǎn)C落在三角形三邊的垂直平分線的交點(diǎn)O處，若BE=BO，則∠ABC的度數(shù)為

1. A.
   54°
2. B.
   60°
3. C.
   63°
4. D.
   72°

Answer 1

C
分析：首先連接OC，設(shè)∠OCE=x°，由折疊的性質(zhì)易得：∠COE=∠OCE=x°，又由三角形三邊的垂直平分線的交于點(diǎn)O，可得OB=OC，且O是△ABC外接圓的圓心，然后利用等邊對(duì)等角與三角形外角的性質(zhì)，可用x表示出∠OBC、∠BOE，∠OEB的度數(shù)，又由三角形內(nèi)角和定理，可得方程x+2x+2x=180，解此方程求得∠OCE的度數(shù)，繼而求得∠ABC的度數(shù)．
解答：解：連接OC，
設(shè)∠OCE=x°，
由折疊的性質(zhì)可得：OE=CE，
∴∠COE=∠OCE=x°，
∵三角形三邊的垂直平分線的交于點(diǎn)O，
∴OB=OC，且O是△ABC外接圓的圓心，
∴∠OBC=∠OCE=x°，∠BOC=2∠A，
∵∠OEB=∠OCE+∠COE=2x°，BE=BO，
∴∠BOE=∠OEB=2x°，
∵△OBE中，∠OBC+∠BOE+∠OEB=180°，
∴x+2x+2x=180，
解得：x=36，
∴∠OBC=∠OCE=36°，
∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCE=108°，
∴∠A=∠BOC=54°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB==63°．
故選C．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了折疊的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)以及三角形外接圓的性質(zhì)．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．