Question

如圖所示，矩形ABCD的邊AB=3，AD=2，將此矩形置入直角坐標(biāo)系中，使AB在x軸上，點C在直線y=x-2上．
（1）求矩形各頂點坐標(biāo)；
（2）若直線y=x-2與y軸交于點E，拋物線過E、A、B三點，求拋物線的關(guān)系式；
（3）判斷上述拋物線的頂點是否落在矩形ABCD內(nèi)部，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）由于AD=2，即C點的縱坐標(biāo)為2，將其代入已知的直線解析式中，即可求得C點的橫坐標(biāo)，進而由AB的長，求得A、D的橫坐標(biāo)，由此可確定矩形的四頂點的坐標(biāo)．
（2）根據(jù)直線y=x-2可求得E點的坐標(biāo)，進而可利用待定系數(shù)法求出該拋物線的解析式．
（3）根據(jù)（2）所得拋物線的解析式，即可由配方法或公式法求得其頂點坐標(biāo)，進而根據(jù)矩形的四頂點坐標(biāo)，來判斷此頂點是否在矩形的內(nèi)部．

解答：解：（1）如答圖所示．
∵y=x-2，AD=BC=2，設(shè)C點坐標(biāo)為（m，2），
把C（m，2）代入y=x-2，
即2=m-2，
∴m=4，
∴C（4，2），
∴OB=4，AB=3，
∴OA=4-3=1，
∴A（1，0），B（4，0），C（4，2），D（1，2）．

（2）∵y=x-2，
∴令x=0，得y=-2，
∴E（0，-2）．
設(shè)經(jīng)過E（0，-2），A（1，0），B（4，0）三點的拋物線關(guān)系式為y=ax²+bx+c，
∴

c=-2 a+b+c=0 16a+4b+c=0

，
解得

a=- 1 2 b= 5 2 c=-2

；
∴y=-

1

2

x2+

5

2

x-2．

（3）拋物線頂點在矩形ABCD內(nèi)部．
∵y=-

1

2

x2+

5

2

x-2，
∴頂點為(

5

2

，

9

8

)，
∵1＜

5

2

＜4，
∴頂點(

5

2

，

9

8

)在矩形ABCD內(nèi)部．

點評：此題主要考查了函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)意義、矩形的性質(zhì)、二次函數(shù)解析式的確定等知識，難度不大，細(xì)心求解即可．