Question

如圖：
（1）P是等腰三角形ABC底邊BC上的一個動點，過點P作BC的垂線，交AB于點Q，交CA的延長線于點R．請觀察AR與AQ，它們有何關(guān)系？并證明你的猜想．
（2）如果點P沿著底邊BC所在的直線，按由C向B的方向運動到CB的延長線上時，（1）中所得的結(jié)論還成立嗎？請你在圖（2）中完成圖形，并給予證明．

Answer 1

分析：（1）由已知條件，根據(jù)等腰三角形兩底角相等及三角形兩直角互余的性質(zhì)不難推出∠PRC與∠AQR的關(guān)系；
（2）由已知條件，根據(jù)等腰三角形兩底角相等及三角形兩直角互余的性質(zhì)不難推出∠BQP與∠PRC的關(guān)系．

解答：解：（1）AR=AQ，理由如下：
∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
∵RP⊥BC，
∴∠B+∠BQP=∠C+∠PRC=90°，
∴∠BQP=∠PRC．
∵∠BQP=∠AQR，
∴∠PRC=∠AQR，
∴AR=AQ；

（2）猜想仍然成立．證明如下：
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C．
∵∠ABC=∠PBQ，
∴∠PBQ=∠C，
∵RP⊥BC，
∴∠PBQ+∠BQP=∠C+∠PRC=90°，
∴∠BQP=∠PRC，
∴AR=AQ．

點評：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)；題中有兩個類別的特殊三角形，等腰三角形是兩個底角相等，直角三角形是兩個銳角互余，還有對頂角相等的條件，為角的關(guān)系轉(zhuǎn)化提供依據(jù)．