Question

如圖，拋物線與軸交于點A(－1，0)、B(3，0)，與軸交于點C(0，3)．

(1)求拋物線的解析式及頂點D的坐標；
(2)若P為線段BD上的一個動點，點P的橫坐標為m，試用含m的代數式表示點P的縱坐標；
(3)過點P作PM⊥x軸于點M，求四邊形PMAC的面積的最大值和此時點P的坐標；
(4)若點F是第一象限拋物線上的一個動點，過點F作FQ∥AC交x軸于點Q．當點F的坐標為          時，四邊形FQAC是平行四邊形；當點F的坐標為           時，四邊形FQAC是等腰梯形(直接寫出結果，不寫求解過程)．

Answer 1

（1），（1，4）；(2)； (3)，（）；(4) （2，3）；（）.

試題分析：（1）拋物線的解析式為：,將點C(0，3)代入即可求出拋物線的解析式，再化成頂點式從而求出頂點坐標D.
(2)先求出直線BD的解析式為，∵點P的橫坐標為m∴點P的縱坐標為：.
(3)用割補法求出，再配成頂點式，∵，∴當時，四邊形PMAC的面積取得最大值為
此時點P的坐標為（）.
(4)四邊形PQAC為平行四邊形或等腰梯形時，需要結合幾何圖形的性質求出P點坐標：①當四邊形PQAC為平行四邊形時，如答圖1所示．構造全等三角形求出P點的縱坐標，再利用P點與C點關于對稱軸x=1對稱的特點，求出P點的橫坐標；②當四邊形PQAC為平行四邊形時，如答圖2所示．利用等腰梯形、平行四邊形、全等三角形以及線段之間的三角函數關系，求出P點坐標．
                 
答圖1                                             答圖2
試題解析：（1）∵拋物線與x軸交于點A(－1，0)、B(3，0)，
∴可設拋物線的解析式為：
又∵拋物線 與y軸交于點C(0，3)，
∴
∴
∴
即拋物線的解析式為：
∴
∴拋物線頂點D的坐標為（1，4）
（2）設直線BD的解析式為：
由B（3，0），D（1，4）得
解得
∴直線BD的解析式為
∵點P在直線PD上，點P的橫坐標為m
∴點P的縱坐標為：
（3）由（1），（2）知：
OA=1，OC=3，OM=m，PM=
∴



∵，∴當時，四邊形PMAC的面積取得最大值為.
此時點P的坐標為（）.
（4）（2，3）；（）.
考點:二次函數及其應用