Question

如圖1，在⊙O中，AB為⊙O的直徑，AC是弦，OC=4，∠OAC=60°。
（1）求∠AOC的度數(shù)；
（2）在圖1中，P為直徑BA延長線上的一點，當(dāng)CP與⊙O相切時，求PO的長；
（3）如圖2，一動點M從A點出發(fā)，在⊙O上按逆時針方向運動，當(dāng)S_△MAO=S_△CAO時，求動點M所經(jīng)過的弧長。

Answer 1

解：（1）∵在△ACO中，∠OAC=60°，OC=OA
∴△ACO是等邊三角形
∴∠AOC=60°
（2）∵CP與⊙O相切，OC是半徑
∴CP⊥OC
∴∠P=90°-∠AOC=30°
∴PO=2CO=8；
（3）如圖，
①作點C關(guān)于直徑AB的對稱點M₁，連接AM₁，OM₁
易得，∠AOM₁=60°
∴×60°=，
∴當(dāng)點M運動到M₁時，S_△MAO=S_△CAO，此時點M經(jīng)過的弧長為， 
②過點M₁作M₁M₂∥AB交⊙O于點M₂，連接AM₂，OM₂，
易得=S_△CAO
∴∠AOM₁=∠M₁OM₂=∠BOM₂=60°
∴或
∴當(dāng)點M運動到M₂時，S_△MAO=S_△CAO，此時點M經(jīng)過的弧長為，
③過點C作CM₃∥AB交⊙O于點M₃，連接AM₃，OM₃，
易得=S_△CAO
∴∠BOM₃=60°，
∴或
∴當(dāng)點M運動到M3時，S_△MAO=S_△CAO，此時點M經(jīng)過的弧長為， 
④當(dāng)點M運動到C時，M與C重合，S_△MAO=S_△CAO，
此時點M經(jīng)過的弧長為或。