Question

（2012•咸豐縣二模）如圖在Rt△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)O在AB上，以O(shè)為圓心，OA長(zhǎng)為半徑的圓與AC、AB，分別交于點(diǎn)D、E，且∠CBD=∠A；
（1）判斷直線BD與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）若AD：AO=6：5，BC=2，求BD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）結(jié)論：BD是圓的切線，已知此線過圓O上點(diǎn)D，連接圓心O和點(diǎn)D（即為半徑），再證垂直即可；
（2）通過作輔助線，根據(jù)已知條件求出∠CBD的度數(shù)，在Rt△BCD中求解即可．

解答：解：（1）直線BD與⊙O相切．（1分）
證明：如圖，連接OD．
∵OA=OD
∴∠A=∠ADO
∵∠C=90°，
∴∠CBD+∠CDB=90°
又∵∠CBD=∠A
∴∠ADO+∠CDB=90°
∴∠ODB=90°
∴直線BD與⊙O相切．（2分）

（2）解法一：如圖，連接DE．
∵AE是⊙O的直徑，∴∠ADE=90°
∵AD：AO=6：5
∴cosA=AD：AE=3：5（3分）
∵∠C=90°，∠CBD=∠A
 cos∠CBD=BC：BD=3：5（4分）
∵BC=2，BD=

10

3

；
解法二：如圖，過點(diǎn)O作OH⊥AD于點(diǎn)H．
∴AH=DH=

1

2

AD
∵AD：AO=6：5
∴cosA=AH：AO=3：5（3分）
∵∠C=90°，∠CBD=∠A
∴cos∠CBD=BC：BD=3：5，
∵BC=2，
∴BD=

10

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線和圓的位置關(guān)系、直角三角形的性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)．