Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（0，1）、B（3，5），以AB為邊作如圖所示的正方形ABCD，頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)的拋物線恰好經(jīng)過點(diǎn)D，P為拋物線上的一動點(diǎn)．
（1）直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）求拋物線的解析式；
（3）求點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離與點(diǎn)P到x軸的距離之差；
（4）當(dāng)點(diǎn)P位于何處時，△APB的周長有最小值，并求出△APB的周長的最小值．

Answer 1

解：（1）設(shè)D點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），過A點(diǎn)作x的平行線l，過B點(diǎn)作BE⊥l于E點(diǎn)，過D點(diǎn)作DF⊥l于F點(diǎn)，
∵B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，5）、A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），
∴AE=3，BE=4，
∵正方形ABCD，
∴AD=AB，
∵∠BAE+∠DAF=∠DAF+∠FAD，
在Rt△AEB和Rt△DFA中，
，
∴在Rt△AEB和Rt△DFA中，
∴AF=BE=4，DF=AE=3，
∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為（-4，4）；
D（-4，4）；

（2）設(shè)拋物線解析式為y=ax²，拋物線經(jīng)過點(diǎn)D坐標(biāo)（-4，4），
即4=16a，解得a=，
因此，所求拋物線解析式為y=x²；

（3）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x²），A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），
|PA|==x²+1，點(diǎn)P到x軸的距離d=x²
點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離與點(diǎn)P到x軸的距離之差=|PA|-d=x²+1-x²=1；

（4）作A點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A′，過A′作x軸的平行線m，過B點(diǎn)作BE⊥直線m交于點(diǎn)E，P′點(diǎn)就是△APB的周長有最小值時P點(diǎn)的位置，
∵A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），
∴A′點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-1），
首先證明P′A=P′E，
設(shè)P′點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），
|P′A|===|y+1|，|P′E|=|y+1|，
于是證明出P′A=P′E，
而點(diǎn)P'在拋物線上，且其橫坐標(biāo)為3，
∴點(diǎn)P'坐標(biāo)為（3，）；由于兩點(diǎn)之間線段最短，那么此時△APB的周長最短；
因此，當(dāng)點(diǎn)P為（3，）時，△APB的周長值最小，且為L=|AB|+|AP|+|BP|=|AB|+|BE|=5+6=11．
分析：（1）設(shè)D點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），過A點(diǎn)作x的平行線l，過B點(diǎn)作BE⊥l于E點(diǎn)，過D點(diǎn)作DF⊥l于F點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)A（0，1）和B（3，5）可以求出AE、BE的長，然后再證明Rt△AEB≌Rt△DFA，求出AF和DF的長，進(jìn)而求出D點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）設(shè)拋物線解析式為y=ax²，把D點(diǎn)坐標(biāo)代入求出a的值，進(jìn)而求出拋物線解析式；
（3）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x²），分別求出P點(diǎn)到A點(diǎn)的距離和到x軸的距離，求出兩距離之差即可；
（4）作A點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A′，過A′作x軸的平行線m，過B點(diǎn)作BE⊥直線m交于點(diǎn)E，P′點(diǎn)就是△APB的周長有最小值時P點(diǎn)的位置，首先證明P′A=P′E，然后P′坐標(biāo)，進(jìn)而求出△APB的周長有最小值．
點(diǎn)評：本題主要考查二次函數(shù)的綜合題的知識點(diǎn)，涉及到拋物線的性質(zhì)，兩點(diǎn)間距離的求法，此題難度較大，特別是（4）問，需要同學(xué)們很強(qiáng)的解答二次函數(shù)試題的綜合能力．