Question

【題目】如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知直線y=﹣ x+4與y軸交于A點，與x軸交于B點，C點的坐標(biāo)為（﹣2，0）．

（1）求證：直線AB⊥AC；
（2）求經(jīng)過A，B，C三點的拋物線l的解析式和對稱軸；
（3）在直線AB上方的拋物線l上，是否存在一點P，使直線AB平分∠PBC？
若存在，請求出P點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：當(dāng)y=0時，x=8，即B（8，0），當(dāng)x=0時，y=4，即A（0，4）．

∵△AOB、△AOC是直角三角形，

∴AC2=OC2+AO2=20，AB2=OB2+AO2=80，

∵AC2+AB2=20+80=100，BC2=[8﹣（﹣2）]2，

∴AC2+AB2=BC2，

∴AC⊥AB

（2）

解：設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，

將A、B、C點坐標(biāo)代入，得

，

解得a ，

拋物線的解析式為y=﹣ x2+ x+4，

y=﹣ x2+ x+4=﹣ （x﹣3）2+ ，

拋物線的對稱軸是x=3

（3）

解：在直線AB上方的拋物線l上，存在一點P，使直線AB平分∠PBC，理由如下：

如圖ADBE是菱形，設(shè)D（x，0），BD=8﹣x，

由勾股定理，得

x2+42=（8﹣x）2，

解得x=3，

AD的解析式為y=﹣ x+4，

BE的解析式為y=﹣ x+b，將B點坐標(biāo)代入，解得b= ，

BE的解析式為y=﹣ x+ ，

聯(lián)立BE與拋物線，得

，

消元化簡，得

3x2﹣34x+80=0，

△=342﹣4×3×80=169，

∴x1=8（舍棄），x2= ，

x= 時，y=

∴當(dāng)點P坐標(biāo)為（ ， ）時，使直線AB平分∠PBC

【解析】（1）根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得A、B點坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理，可得AB、AC的長，根據(jù)勾股定理的逆定理，可得答案；（2）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；根據(jù)配方法，可得對稱軸；（3）根據(jù)菱形的對角線平分一組對角，可得ADBE是菱形，根據(jù)平行間的一次項的系數(shù)相等，可得BE的解析式，根據(jù)解方程組，可得答案．
【考點精析】通過靈活運用勾股定理的概念，掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2即可以解答此題．