Question

在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCO的面積為15，邊OA比OC大2．E為BC的中點(diǎn)，以O(shè)E為直徑的⊙交x軸于D點(diǎn)，過點(diǎn)D作DF⊥AE于點(diǎn)F．

(1)求OA、OC的長(zhǎng)；

(2)求證：DF為⊙的切線；

(3)小明在解答本題時(shí)，發(fā)現(xiàn)△AOE是等腰三角形．由此，他斷定：“直線BC上一定存在除點(diǎn)E以外的點(diǎn)P，使△AOP也是等腰三角形，且點(diǎn)P一定在⊙外”．你同意他的看法嗎？請(qǐng)充分說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)在矩形OABC中，設(shè)OC＝x則OA＝x＋2，依題意得 　　解得：(不合題意，舍去)∴OC＝3，OA＝5………………4分 　　(只要學(xué)生寫出OC＝3，OA＝5即給2分) 　　(2)連結(jié)D，在矩形OABC中，OC＝AB，∠OCB＝∠ABC＝90°，CE＝BE＝ 　　∴△OCE≌△ABE∴EA＝EO∴∠1＝∠2 　　在⊙中，∵O＝D∴∠1＝∠3∴∠3＝∠2∴D∥AE，∵DF⊥AE∴DF⊥D 　　又∵點(diǎn)D在⊙上，D為⊙的半徑，∴DF為⊙切線．………8分 　　(3)不同意．理由如下： 　�、佼�(dāng)AO＝AP時(shí)， 　　以點(diǎn)A為圓心，以AO為半徑畫弧交BC于P1和P4兩點(diǎn) 　　過P1點(diǎn)作P1H⊥OA于點(diǎn)H，P1H＝OC＝3，∵AP1＝OA＝5 　　∴AH＝4，∴OH＝1求得點(diǎn)P1(1，3)同理可得：P4(9，3)………………9分 　�、诋�(dāng)OA＝OP時(shí)， 　　同上可求得：P2(4，3)，P3(4，3)……………………………11分 　　因此，在直線BC上，除了E點(diǎn)外，既存在⊙內(nèi)的點(diǎn)P1，又存在⊙外的點(diǎn)P2、P3、P4，它們分別使△AOP為等腰三角形．…………………12分