如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,四邊形ABCD是菱形,頂點(diǎn)A.C.D均在坐標(biāo)軸上,且AB=5,sinB=.
(1)求過A.C. D三點(diǎn)的拋物線的解析式;
(2)記直線AB的解析式為y1=mx+n,(1)中拋物線的解析式為y2=ax2+bx+c,求當(dāng)y1<y2時,自變量x的取值范圍;
(3)設(shè)直線AB與(1)中拋物線的另一個交點(diǎn)為E,P點(diǎn)為拋物線上A.E兩點(diǎn)之間的一個動點(diǎn),當(dāng)P點(diǎn)在何處時,△PAE的面積最大?并求出面積的最大值.
解:(1)∵四邊形ABCD是菱形,
∴AB=AD=CD=BC=5,sinB=sinD=;
Rt△OCD中,OC=CD•sinD=4,OD=3;
OA=AD﹣OD=2,即:
A(﹣2,0)、B(﹣5,4)、C(0,4)、D(3,0);
設(shè)拋物線的解析式為:y=a(x+2)(x﹣3),得:
2×(﹣3)a=4,a=﹣;
∴拋物線:y=﹣x2+
x+4.
(2)由A(﹣2,0)、B(﹣5,4)得直線AB:y1=﹣x﹣
;
由(1)得:y2=﹣x2+
x+4,則:
,解得:
,
;
由圖可知:當(dāng)y1<y2時,﹣2<x<5.
(3)∵S△APE=AE•h,
∴當(dāng)P到直線AB的距離最遠(yuǎn)時,S△ABC最大;
若設(shè)直線L∥AB,則直線L與拋物線有且只有一個交點(diǎn)時,該交點(diǎn)為點(diǎn)P;
設(shè)直線L:y=﹣x+b,當(dāng)直線L與拋物線有且只有一個交點(diǎn)時,
﹣x+b=﹣
x2+
x+4,且△=0;
求得:b=,即直線L:y=﹣
x+
;
可得點(diǎn)P(,
).
由(2)得:E(5,﹣),則直線PE:y=﹣
x+9;
則點(diǎn)F(,0),AF=OA+OF=
;
∴△PAE的最大值:S△PAE=S△PAF+S△AEF=×
×(
+
)=
.
綜上所述,當(dāng)P(,
)時,△PAE的面積最大,為
.
【解析】(1)由菱形ABCD的邊長和一角的正弦值,可求出OC.OD.OA的長,進(jìn)而確定A.C.D三點(diǎn)坐標(biāo),通過待定系數(shù)法可求出拋物線的解析式.
(2)首先由A.B的坐標(biāo)確定直線AB的解析式,然后求出直線AB與拋物線解析式的兩個交點(diǎn),然后通過觀察圖象找出直線y1在拋物線y2圖象下方的部分.
(3)該題的關(guān)鍵點(diǎn)是確定點(diǎn)P的位置,△APE的面積最大,那么S△APE=AE×h中h的值最大,即點(diǎn)P離直線AE的距離最遠(yuǎn),那么點(diǎn)P為與直線AB平行且與拋物線有且僅有的唯一交點(diǎn).
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