【題目】如圖①，等邊三角形的邊長(zhǎng)為2，是邊上的任一點(diǎn)(與不重合)，設(shè)，連接，以為邊向兩側(cè)作等邊三角形和等邊三角形，分別與邊交于點(diǎn)．

(1)求證：；

(2)求四邊形與△ABC重疊部分的面積與之間的函數(shù)關(guān)系式及的最小值；

(3)如圖②，連接，分別與邊交于點(diǎn)．當(dāng)為何值時(shí)，．

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；的最小值為；（3）當(dāng)時(shí)，．

【解析】

（1）根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出，據(jù)此通過(guò)證明△ADM和△APN全等后利用全等三角形性質(zhì)證明結(jié)論即可；

（2）作于點(diǎn)，首先結(jié)合（1）中結(jié)論得出四邊形與△ABC重疊部分四邊形的面積的面積，之后利用勾股定理以及三角函數(shù)的概念求出△ADP的面積，由此進(jìn)一步分析求解即可；

（3）連接PG，利用菱形的性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)進(jìn)一步進(jìn)行計(jì)算即可.

(1)證明：∵△ABC，△APD，△APE都是等邊三角形，

∴，

∴．

在△ADM和△APN中，

∵

∴△ADM△APN(ASA)，

∴；

(2)如圖，作于點(diǎn)．

∵△ADM△APN

∴四邊形與△ABC重疊部分四邊形的面積的面積．

∵，，

∴，，

∴，

由勾股定理，得，

∵是等邊三角形，

∴△ADP的面積=，

即：，

∴的最小值為；

(3)連接，如圖：

當(dāng)時(shí)，

∵，

∴．

易知四邊形是菱形，

∴．

∴，

∴．

∴．

∵，

∴，，

∴．

解得．

∴當(dāng)時(shí)，．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】（新知探究）新定義：平面內(nèi)兩定點(diǎn) A, B ，所有滿(mǎn)足 k ( k 為定值)的 P 點(diǎn)形成的圖形是圓，我們把這種圓稱(chēng)之為“阿氏圓”，

（問(wèn)題解決）如圖，在ABC 中，CB 4 ， AB 2AC ，則ABC 面積的最大值為_____．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】七年級(jí)同學(xué)最喜歡看哪一類(lèi)課外書(shū)？某校隨機(jī)抽取七年級(jí)部分同學(xué)對(duì)此進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)査（每人只選擇一種最喜歡的書(shū)籍類(lèi)型）．如圖是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的兩幅統(tǒng)計(jì)圖（不完整）．請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖信息，解答下列問(wèn)題：

（1）一共有多少名學(xué)生參與了本次問(wèn)卷調(diào)查；

（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖，并求出扇形統(tǒng)計(jì)圖中“其他”所在扇形的圓心角度數(shù)；

（3）若該年級(jí)有400名學(xué)生，請(qǐng)你估計(jì)該年級(jí)喜歡“科普常識(shí)”的學(xué)生人數(shù)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，以為直徑作，點(diǎn)在軸上，且在點(diǎn)上方，過(guò)點(diǎn)作的切線，為切點(diǎn)，如果點(diǎn)在第一象限，則稱(chēng)為點(diǎn)的離點(diǎn)．例如，圖1中的為點(diǎn)的一個(gè)離點(diǎn)．

（1）已知點(diǎn)，為的離點(diǎn)．

①如圖2，若，則圓心的坐標(biāo)為__________，線段的長(zhǎng)為__________；

②若，求線段的長(zhǎng)；

（2）已知，直線．

①當(dāng)時(shí)，若直線上存在的離點(diǎn)，則點(diǎn)縱坐標(biāo)的最大值為__________；

②記直線在的部分為圖形，如果圖形上存在的離點(diǎn)，直接寫(xiě)出的取值范圍．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸相交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為，連接，與拋物線的對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)，點(diǎn)為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與，兩點(diǎn)重合），過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交拋物線于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

（1）當(dāng)為何值時(shí)，四邊形為平行四邊形；

（2）設(shè)的面積為，求的最大值．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在⊙O中，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦且與AB交于點(diǎn)E（E不與O重合），CE＝DE，點(diǎn)F在弧AD上，連接AD、CF、DF，CF交AB于點(diǎn)H，交AD于點(diǎn)G．

（1）如圖1，求證：∠CFD＝2∠BAD；

（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)B作BN⊥CF于點(diǎn)N，交⊙O于點(diǎn)M，求證：FN＝CN+DF；

（3）如圖3，在（2）的條件下，延長(zhǎng)CF至點(diǎn)Q，連接QA并延長(zhǎng)交BM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，若∠Q＝∠ADF，HE＝BE，AQ＝2DG＝10，求線段PN的長(zhǎng)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】用水平線和豎起線將平面分成若干個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形格子，小正方形的頂點(diǎn)稱(chēng)為格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形稱(chēng)為格點(diǎn)多邊形．設(shè)格點(diǎn)多邊形的面積為S，該多邊形各邊上的格點(diǎn)個(gè)數(shù)和為a，內(nèi)部的格點(diǎn)個(gè)數(shù)為b，則（史稱(chēng)“皮克公式”）．

小明認(rèn)真研究了“皮克公式”，并受此啟發(fā)對(duì)正三角開(kāi)形網(wǎng)格中的類(lèi)似問(wèn)題進(jìn)行探究：正三角形網(wǎng)格中每個(gè)小正三角形面積為1，小正三角形的頂點(diǎn)為格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形稱(chēng)為格點(diǎn)多邊形，下圖是該正三角形格點(diǎn)

中的兩個(gè)多邊形：

根據(jù)圖中提供的信息填表：


格點(diǎn)多邊形各邊上的格點(diǎn)的個(gè)數(shù)

格點(diǎn)邊多邊形內(nèi)部的格點(diǎn)個(gè)數(shù)

格點(diǎn)多邊形的面積

多邊形1

8

1


多邊形2

7

3


…

…

…

…

一般格點(diǎn)多邊形

a

b

S

則S與a、b之間的關(guān)系為S=　 　（用含a、b的代數(shù)式表示）．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】（感知）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，將線段繞著點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至線段，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為點(diǎn)，易知，得到點(diǎn)的坐標(biāo)為．

（探究）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，將線段繞著點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至線段．

（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)．（用含的代數(shù)式表示）

（2）求出BC所在直線的函數(shù)表達(dá)式．

（拓展）如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在軸上，將線段繞著點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至線段，連結(jié)、，則的最小值為_(kāi)______．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖像與x軸交于A，B兩點(diǎn)，B點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0)，與y軸交于點(diǎn)C(0,4).點(diǎn)D為拋物線上一點(diǎn)

(1)求拋物線的解析式及A點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)若△BCD是以BC為直角邊的直角三角形時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(3)若△BCD是銳角三角形,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)D的橫坐標(biāo)m的取值范圍 .

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