如圖①,平面直角坐標(biāo)系中,直線分別交x軸、y軸于點(diǎn)A、B,OC⊥AB于點(diǎn)C,D是AB的中點(diǎn).動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)沿折線AD→DO方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)O運(yùn)動(dòng),同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)沿折線DO→OB方向以相同的速度運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)O點(diǎn)時(shí)P、Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).
(1)求OD的長(zhǎng);
(2)當(dāng)點(diǎn)P在AD上運(yùn)動(dòng)時(shí),設(shè)△DPQ的面積為S,求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式,并求出S的最大值;
(3)如圖②,當(dāng)點(diǎn)P在DO上、點(diǎn)Q在OB上運(yùn)動(dòng)時(shí),PQ與OC交于點(diǎn)E,當(dāng)t為何值時(shí),△OPE為等腰三角形?

【答案】分析:(1))根據(jù)直線交x軸于點(diǎn)A、y軸于B,求出A與B點(diǎn)的坐標(biāo),得出AB的值,再根據(jù)D是AB的中點(diǎn),即可求出OD的值;
(2)先過Q作QE⊥AB于E,根據(jù)OC⊥AB于點(diǎn)C,得出=,AB•OC=AO•BO,求出OC的值,再根據(jù)DP=AD-AP=3-t,DQ=t,得出QE的值,再根據(jù)S△DPQ=DP•QE=+,即可得出S的最大值;
(3)當(dāng)PE=OE時(shí),PQ∥OA,得出t-3=(6-t),求出t的值;當(dāng)OP=OE時(shí),根據(jù)∠COD=30°,求出∠PQO=45°,過P作PF⊥OB,得出PF=QF,根據(jù)PF=cos30°×OP=(6-t),QF=t-3-(6-t),得出t-3(6-t)=(6-t),求出t的值;當(dāng)PO=PE時(shí),得∠POE=∠PEO=30°,得出PE∥OB,此時(shí)△POE不存在,從而求出t=4或t=3+時(shí),△OPE為等腰三角形.
解答:解:(1)∵直線交x軸于x軸、y軸于點(diǎn)A、B,
∴A點(diǎn)的坐標(biāo)是(,0),B點(diǎn)的坐標(biāo)是(0,3),
∴AB=6,
∵D是AB的中點(diǎn),
∴OD=3;

(2)過Q作QE⊥AB于E,如圖,
∵OC⊥AB于點(diǎn)C,
=,AB•OC=AO•BO,
∴6OC=3×3,
∴OC=,
∵動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)沿折線AD→DO方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)O運(yùn)動(dòng),
動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)沿折線DO→OB方向以相同的速度運(yùn)動(dòng),
∴DP=AD-AP=3-t,DQ=t,
=
∴QE=t,
∴S△DPQ=DP•QE=(3-t)×t=+
∵0<t≤3,
當(dāng)t=時(shí),S的最大值=;

(3)當(dāng)PE=OE時(shí),PQ∥OA,
∴OQ=OP,即t-3=(6-t),
∴t=4,
當(dāng)OP=OE時(shí),
∵∠COD=30°,
∴∠OPQ=75°,∠PQO=45°,
過P作PF⊥OB,
∴PF=QF,
∵PF=cos30°×OP=(6-t),
QF=t-3-(6-t),
∴t-3(6-t)=(6-t),
∴t=3,
當(dāng)PO=PE時(shí),得∠POE=∠PEO=30°,
則PE∥OB,
此時(shí)△POE不存在,
所以此情況不成立,
綜上當(dāng)t=4或t=3+,△OPE為等腰三角形.
點(diǎn)評(píng):此題考查了一次函數(shù)的綜合,用到的知識(shí)點(diǎn)是直角三角形和等腰三角形的性質(zhì)、解直角三角形、平行線的判定與性質(zhì),關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形,要注意把三種情況全部畫出.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在平面直角坐標(biāo)中,直線AB分別與x軸、y軸交于點(diǎn)B、A,與精英家教網(wǎng)反比例函數(shù)的圖象分別交于點(diǎn)C、D,CE⊥x軸于點(diǎn)E,tan∠ABO=
12
,OB=4,OE=2.
(1)求該反比例函數(shù),直線AB的解析式.
(2)求D點(diǎn)坐標(biāo),及△CED的面積.

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如圖,在平面直角坐標(biāo)中,拋物線的頂點(diǎn)P到x軸的距離是4,與x軸交于0、M兩點(diǎn),O精英家教網(wǎng)M=4,矩形ABCD的邊BC在線段OM上,點(diǎn)A、D在拋物線上.
(1)請(qǐng)寫出P、M兩點(diǎn)坐標(biāo),并求這條拋物線的解析式;
(2)當(dāng)矩形ABCD的周長(zhǎng)為最大值時(shí),將矩形繞它的中心順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°,求點(diǎn)D的坐標(biāo);
(3)連接OP,請(qǐng)判斷在拋物線上是否存在點(diǎn)Q(除點(diǎn)M外)使△OPQ是等腰三角形?若存在,寫出點(diǎn)Q到y(tǒng)軸的距離;若不存在,說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在平面直角坐標(biāo)中,四邊形OABC是等腰梯形,CB∥OA,OC=AB=4,BC=6,∠COA=45°,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā),在梯形OABC的邊上運(yùn)動(dòng),路徑為O→A→B→C,到達(dá)點(diǎn)C時(shí)停止.作直線CP.
(1)求梯形OABC的面積;
(2)當(dāng)直線CP把梯形OABC的面積分成相等的兩部分時(shí),求直線CP的解析式;
(3)當(dāng)△OCP是等腰三角形時(shí),請(qǐng)寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)(不要求過程,只需寫出結(jié)果).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在平面直角坐標(biāo)中,等腰梯形ABCD的下底在x軸上,且B點(diǎn)坐標(biāo)為(8,0),D點(diǎn)坐標(biāo)為(0,6),則AC長(zhǎng)為
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在平面直角坐標(biāo)中,點(diǎn)A(2,2),試在x軸上找點(diǎn)P,使△AOP是等腰三角形,那么這樣的三角形有(  )

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