Question

【題目】拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為頂點(diǎn)．

（1）求點(diǎn)B及點(diǎn)D的坐標(biāo)．

（2）連結(jié)BD，CD，拋物線的對稱軸與x軸交于點(diǎn)E．

①若線段BD上一點(diǎn)P，使∠DCP=∠BDE，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

②若拋物線上一點(diǎn)M，作MN⊥CD，交直線CD于點(diǎn)N，使∠CMN=∠BDE，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）B的坐標(biāo)為（3，0） D的坐標(biāo)為（1，－4）

（2）①點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）②點(diǎn)M坐標(biāo)為（）或（5，12）

【解析】

解：（1）∵拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），

∴當(dāng)y=0時(shí)，，解得x=3或x=﹣1．∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）．

∵，∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，－4）．

（2）①如圖，

∵拋物線與y軸交于點(diǎn)C，

∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，－3）．

∵對稱軸為直線x=1，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，0）．

連接BC，過點(diǎn)C作CH⊥DE于H，則H點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣3），

∴CH=DH=1．

∴∠CDH=∠BCO=∠BCH=45°．

∴CD=，CB=3，△BCD為直角三角形．

分別延長PC、DC，與x軸相交于點(diǎn)Q，R．

∵∠BDE=∠DCP=∠QCR，

∠CDB=∠CDE+∠BDE=45°+∠DCP，∠QCO=∠RCO+∠QCR=45°+∠DCP，

∴∠CDB=∠QCO．∴△BCD∽△QOC．∴．

∴OQ=3OC=9，即Q（﹣9，0）.

∴直線CQ的解析式為．

又直線BD的解析式為，

由方程組解得：．

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）．

②（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)M在對稱軸右側(cè)時(shí)，

若點(diǎn)N在射線CD上，如圖，

延長MN交y軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)M作MG⊥y軸于點(diǎn)G．，

∵∠CMN=∠BDE，∠CNM=∠BED=90°，

∴△MCN∽△DBE．∴．∴MN=2CN．

設(shè)CN=a，則MN=2a．

∵∠CDE=∠DCF=45°，

∴△CNF，△MGF均為等腰直角三角形．

∴NF=CN=a，CF=a．∴MF=MN+NF=3a．∴MG=FG=a．

∴CG=FG﹣FC=a．

∴M（a，）．

代入拋物線，解得a=．，

∴M（）．

若點(diǎn)N在射線DC上，如圖，

MN交y軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)M作MG⊥y軸于點(diǎn)G，

∵∠CMN=∠BDE，∠CNM=∠BED=90°，

∴△MCN∽△DBE，∴．

∴MN=2CN．．

設(shè)CN=a，則MN=2a．

∵∠CDE=45°，

∴△CNF，△MGF均為等腰直角三角形．，

∴NF=CN=a，CF=a．

∴MF=MN﹣NF=a，∴MG=FG=a．∴CG=FG+FC=a．∴M（a，）．

代入拋物線，解得a=．

∴M（5，12）．

（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)M在對稱軸左側(cè)時(shí)，

∵∠CMN=∠BDE＜45°，∴∠MCN＞45°．

而拋物線左側(cè)任意一點(diǎn)K，都有∠KCN＜45°，∴點(diǎn)M不存在．

綜上可知，點(diǎn)M坐標(biāo)為（）或（5，12）．

（1）解方程，求出x=3或﹣1，根據(jù)拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），確定點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）；將拋物線寫成頂點(diǎn)式，即可確定頂點(diǎn)D的坐標(biāo)．

（2）①根據(jù)拋物線，得到點(diǎn)C、點(diǎn)E的坐標(biāo)．連接BC，過點(diǎn)C作CH⊥DE于H，由勾股定理得出CD=，CB=3，證明△BCD為直角三角形．分別延長PC、DC，與x軸相交于點(diǎn)Q，R．根據(jù)兩角對應(yīng)相等的兩三角形相似證明△BCD∽△QOC，則，得出Q的坐標(biāo)（﹣9，0），運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線CQ的解析式為，直線BD的解析式為，解方程組，即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

②分點(diǎn)M在對稱軸右側(cè)和點(diǎn)M在對稱軸左側(cè)兩種情況進(jìn)行討論：（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)M在對稱軸右側(cè)時(shí)，分點(diǎn)N在射線CD上和點(diǎn)N在射線DC上兩種情況討論；（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)M在對稱軸左側(cè)時(shí)，由于∠BDE＜45°，得到∠CMN＜45°，根據(jù)直角三角形兩銳角互余得出∠MCN＞45°，而拋物線左側(cè)任意一點(diǎn)K，都有∠KCN＜45°，所以點(diǎn)M不存在．