Question

(2005　北京)已知：關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根和，并且拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別位于點(diǎn)(2，0)的兩旁．

(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)當(dāng)時(shí)，求a的值．

Answer 1

答案：略
解析：

(1)解法1　∵關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根， ∴ 解得：a＜0，且a≠－2　　① 設(shè)拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為(α，0)、(β，0)，且α＞β， ∴α、β是關(guān)于x的方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根． ∵， ∴此不等式a為任意實(shí)數(shù)．　�、� 由根與系數(shù)的關(guān)系得：α＋β=2a＋1，αβ=2a－5． ∵拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別位于點(diǎn)(2，0)的兩旁， ∴α＜2，β＞2， ∴(α－2)(β－2)＜0， ∴αβ－2(α＋β)＋4＜0， ∴2a－5－2(2a＋1)＋4＜0， 解得：． 由①、②、③得a的取值范圍是． 解法2　同解法1，得a＜0，且a≠－2① ∵拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別位于點(diǎn)(2，0)兩旁，且拋物線開口向上， ∴當(dāng)x=2時(shí)，y＜0， ∴4－2(2a＋1)＋2a－5＜0， 解得： 由①、②得a的取值范圍是． (2)解　∵和是關(guān)于x的方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根， ∴． ∵ ∴a＋2＞0， ∴， 不妨設(shè)． ∴， ∴，即， ∴． 解這個(gè)方程，得： ， 經(jīng)檢驗(yàn)，都是方程的根， ，舍去， ∴a為－1為所求． 此題可作高考題，難度與高考難題相近。

提示：

點(diǎn)評(píng)　本題主要考查二次函數(shù)不等式的有關(guān)知識(shí)，在解題時(shí)運(yùn)用了分類討論的思想，只要掌握了最基礎(chǔ)的知識(shí)，此題便很容易解決．