如圖所示，AC為⊙O的直徑且PA⊥AC，BC是⊙O的一條弦，直線PB交直線AC于點D，．
（1）求證：直線PB是⊙O的切線；
（2）求cos∠BCA的值．

（1）證明：連接OB、OP，如圖，

∵，且∠D=∠D，
∴△BDC∽△PDO，
∴∠DBC=∠DPO，
∴BC∥OP，
∴∠BCO=∠POA，∠CBO=∠BOP
而OB=OC
∴∠OCB=∠CBO
∴∠BOP=∠POA
又∵OB=OA，OP=OP
∴△BOP≌△AOP
∴∠PBO=∠PAO
又∵PA⊥AC
∴∠PBO=90°
∴直線PB是⊙O的切線；[來源:學科網(wǎng)ZXXK]
（2）由（1）知∠BCO=∠POA，
設(shè)PB=a，則BD=2a
又∵PA=PB=a
∴AD==2a，
又∵BC∥OP
∴DC=2CO，
∴DC=CA=×2a=a，
∴OA=a，
∴OP===a，
∴cos∠BCA=cos∠POA==．

解析

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相關(guān)習題

科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖所示，AC為⊙O的直徑且PA⊥AC，BC是⊙O的一條弦，直線PB交直線AC于點D，
DB
DP
=
DC
DO
=
2
3
．
（1）求證：直線PB是⊙O的切線；
（2）求cos∠BCA的值．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

如圖所示，AC為BC的垂線，CD為AB的垂線，DE為BC的垂線，D、E分別在△ABC的邊AB和BC上，則下列說法：①△ABC中，AC是BC邊上的高；②△BCD中，DE是BC邊上的高；③△DBE中，DE是BE邊上的高；④△ACD中，AD是CD邊上的高，其中正確的是
①②③④
①②③④
．

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科目：初中數(shù)學 來源：2012屆廣西桂平市中考模擬訓練題（一）數(shù)學試卷（帶解析） 題型：解答題

如圖所示，AC為⊙O的直徑且PA⊥AC，BC是⊙O的一條弦，直線PB交直線AC于點D，.

（1）求證：直線PB是⊙O的切線；
（2）求cos∠BCA的值．

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科目：初中數(shù)學 來源：2011-2012學年廣西桂平市中考模擬訓練題（一）數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

如圖所示，AC為⊙O的直徑且PA⊥AC，BC是⊙O的一條弦，直線PB交直線AC于點D，.

 

 

（1）求證：直線PB是⊙O的切線；

（2）求cos∠BCA的值．

 

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