Question

     如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，，．動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度沿軸勻速向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)即停止．設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為．

（1）過(guò)點(diǎn)作對(duì)角線的垂線，垂足為點(diǎn)．求的長(zhǎng)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量的取值范圍；

（2）在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)恰好落在對(duì)角線上時(shí)，求此時(shí)直線的函數(shù)解析式；

（3）探索：以三點(diǎn)為頂點(diǎn)的的面積能否達(dá)到矩形面積的？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

在矩形中，，，

．

　　　　，．

　　　　，即，．

　　　　當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)即停止運(yùn)動(dòng)，此時(shí)的最大值為．

　　　　所以，的取值范圍是．(2分）

　　　　（2）當(dāng)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)恰好在對(duì)角線上時(shí)，三點(diǎn)應(yīng)在一條直線上（如答圖2）．

　　　　，．

　　　　，

．

　　　　．點(diǎn)的坐標(biāo)為．(1分）

　　　　設(shè)直線的函數(shù)解析式為．將點(diǎn)和點(diǎn)代入解析式，得解這個(gè)方程組，得

　　　　　此時(shí)直線的函數(shù)解析式是．（2）

　　　　　（3）由（2）知，當(dāng)時(shí)，三點(diǎn)在一條直線上，此時(shí)點(diǎn)　不構(gòu)成三角形．(2分）

　　　　　故分兩種情況：

　　　　　（i）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)位于的內(nèi)部（如答圖3）．

過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，由

可得．

　　　　　

　　　　　．

　　　　　若，則應(yīng)有，即．

　　　　　此時(shí)，，所以該方程無(wú)實(shí)數(shù)根．

　　　　　所以，當(dāng)時(shí)，以為頂點(diǎn)的的面積不能達(dá)到矩形面積的．(2分）

　　　　　（ii）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)位于的外部．（如答圖4）

　　　　　此時(shí)．

　　　　　若，則應(yīng)有，即．

　　　　　解這個(gè)方程，得，（舍去）．

　　　　　由于，．

　　　　　而此時(shí)，所以也不符合題意，故舍去．

　所以，當(dāng)時(shí)，以為頂點(diǎn)的的面積也不能達(dá)到矩形面積的．(2分）

　綜上所述，以為頂點(diǎn)的的面積不能達(dá)到矩形面積的．(1分）