Question

如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，交AC于點E，連接DE，過點B作BP平行于DE，交⊙O于點P，連接EP、CP、OP．

(1)BD＝DC嗎？說明理由；

(2)求∠BOP的度數(shù)；

(3)求證：CP是⊙O的切線；

如果你解答這個問題有困難，可以參考如下信息：

為了解答這個問題，小明和小強(qiáng)做了認(rèn)真的探究，然后分別用不同的思路完成了這個題目．在進(jìn)行小組交流的時候，小明說：“設(shè)OP交AC于點G，證△AOG∽△CPG”；小強(qiáng)說：“過點C作CH⊥AB于點H，證四邊形CHOP是矩形”．

Answer 1

答案：
解析：

分析．(1)連接AD，由圓周角定理可知∠ADB＝90°，再由AB＝AC可知△ABC是等腰三角形，故BD＝DC； 　　(2)由于AD是等腰三角形ABC底邊上的中線，所以∠BAD＝∠CAD，故＝，進(jìn)而可得出BD＝DE，故BD＝DE＝DC， 　　所以∠DEC＝∠DCE，△ABC中由等腰三角形的性質(zhì)可得出∠ABC＝75°，故∠DEC＝75°由三角形內(nèi)角和定理得出∠EDC的度數(shù)，再根據(jù)BP∥DE可知∠PBC＝∠EDC＝30°，進(jìn)而得出∠ABP的度數(shù)，再由OB＝OP，可知∠OBP＝∠OPB，由三角形內(nèi)角和定理即可得出∠BOP＝90°； 　　(3)設(shè)OP交AC于點G，由∠BOP＝90°可知∠AOG＝90°在Rt△AOG中，由∠OAG＝30°，可知＝，由于＝＝，所以＝，＝，再根據(jù)∠AGO＝∠CGP可得出△AOG∽△CPG，由相似三角形形的性質(zhì)可知∠GPC＝∠AOG＝90°，故可得出CP是⊙O的切線． 　　解答．(1)解：BD＝DC． 　　連接AD，如圖， 　　∵AB是直徑， 　　∴∠ADB＝90°， 　　∵AB＝AC， 　　∴BD＝DC； 　　(2)解：∵AD是等腰三角形ABC底邊上的中線， 　　∴∠BAD＝∠CAD， 　　∴＝， 　　∴BD＝DE， 　　∴BD＝DE＝DC， 　　∴∠DEC＝∠DCE， 　　∵△ABC中，AB＝AC，∠A＝30° 　　∴∠DCE＝∠ABC＝(180°－30°)＝75°， 　　∴∠DEC＝75° 　　∴∠EDC＝180°－75°－75°＝30° 　　∵BP∥DE， 　　∴∠PBC＝∠EDC＝30°， 　　∴∠ABP＝∠ABC－∠PBC＝75°－30°＝45° 　　∵OB＝OP， 　　∴∠OBP＝∠OPB＝45°， 　　∴∠BOP＝90°； 　　(3)證明：證法一：設(shè)OP交AC于點G，則∠AOG＝∠BOP＝90° 　　在Rt△AOG中， 　　∵∠OAG＝30°， 　　∴＝， 　　又∵＝＝， 　　∴＝， 　　∴＝， 　　又∵∠AGO＝∠CGP 　　∴△AOG∽△CPG， 　　∴∠GPC＝∠AOG＝90°， 　　∴CP是⊙O的切線) 　　證法二：過點C作CH⊥AB于點H，如圖，則∠BOP＝∠BHC＝90°， 　　∴PO∥CH 　　在Rt△AHC中， 　　∵∠HAC＝30°， 　　∴CH＝AC， 　　又∵PO＝AB＝AC， 　　∴PO＝CH， 　　∵四邊形CHOP是平行四邊形 　　∴四邊形CHOP是矩形， 　　∴∠OPC＝90°， 　　∴CP是⊙O的切線． 　　點評．本題考查的是切線的判定定理、等腰三角形的性質(zhì)、圓周角定理及相似三角形的判定與性質(zhì)，在判定圓的切線時構(gòu)造直角三角形，再利用直角三角形的性質(zhì)去證明過圓心的直線與切線垂直．

提示：

考點．切線的判定；等腰三角形的性質(zhì)；圓周角定理．