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作業(yè)寶如圖,已知△ABC內(nèi)接于⊙O,點(diǎn)D在OC的延長(zhǎng)線上,∠ABC=∠CAD.
(1)若∠ABC=20°,則∠OCA的度數(shù)為______;
(2)判斷直線AD與⊙O的位置關(guān)系,并說明理由;
(3)若OD⊥AB,BC=5,AB=8,求⊙O的半徑.

解:(1)連接OA,
∵∠ABC=20°,
∴∠AOC=2∠ABC=40°,
∵OA=OC,
∴∠OCA==70°;

(2)相切.
理由如下:法一:連接OA,
則∠ABC=∠AOC,
在等腰△AOC中,∠OAC=90°-∠AOC,
∴∠OAC=90°-∠ABC.
∵∠ABC=∠CAD,
∴∠OAD=∠OAC+∠CAD=90°-∠ABC+∠ABC=90°,
即OA⊥AD,而點(diǎn)A在⊙O上,
∴直線AD與⊙O相切.
法二:連接OA,并延長(zhǎng)AO與⊙O相交于點(diǎn)E,連接EC.
∵AE是⊙O的直徑,
∴∠ECA=90°,
∴∠EAC+∠AEC=90°.
又∵∠ABC=∠AEC,∠ABC=∠CAD,
∴∠EAC+∠CAD=90°.
即OA⊥AD,而點(diǎn)A在⊙O上,
∴直線AD與⊙O相切.

(3)設(shè)OD與AB的交點(diǎn)為點(diǎn)G.
∵OD⊥AB,
∴AG=GB=AB=×8=4.AC=BC=5,
在Rt△ACG中,GC==3.
在Rt△OGA中,設(shè)OA=x,由OA2=OG2+AG2,
得x2=(x-3)2+42,.
解得x=,
即⊙O的半徑為.                   
故答案為:70°.
分析:(1)連接OA,由圓周角定理可得∠AOC的度數(shù),又由等腰三角形的性質(zhì),即可求得∠OCA的度數(shù);
(2)連接OA,由圓周角定理可得∠AOC的度數(shù),又由等腰三角形的性質(zhì),繼而求得∠OAD的度數(shù),繼而證得直線AD與⊙O的位置關(guān)系;
(3)設(shè)OD與AB的交點(diǎn)為點(diǎn)G,由垂徑定理可求得AG的長(zhǎng),然后由勾股定理可得在Rt△OGA中,設(shè)OA=x,由OA2=OG2+AG2,得x2=(x-3)2+42,解此方程即可求得答案.
點(diǎn)評(píng):此題考查了圓周角定理、垂徑定理、切線的判定以及勾股定理.此題難度適中,注意掌握輔助線的作法,注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知△ABC內(nèi)接于⊙O,∠C=45°,AB=4,則⊙O的半徑為
 

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知△ABC內(nèi)接于⊙O,AD平分∠BAC,交⊙O于點(diǎn)D,過D作⊙O的切線與AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E.
(1)求證:BC∥DE;
(2)若AB=3,BD=2,求CE的長(zhǎng);
(3)在題設(shè)條件下,為使BDEC是平行四邊形,△ABC應(yīng)滿足怎樣的條件(不要求證明).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•樊城區(qū)模擬)如圖,已知△ABC內(nèi)接于⊙O,弦AD交BC于E,過點(diǎn)D的切線MN交直線AB于M,交直線AC于N.
(1)求證:AE•DE=BE•CE;
(2)連接DB,CD,若MN∥BC,試探究BD與CD的數(shù)量關(guān)系;
(3)在(2)的條件下,已知AB=6,AN=15,求AD的長(zhǎng).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知△ABC內(nèi)接于⊙O,AE平分∠BAC,且AD⊥BC于點(diǎn)D,連接OA.
求證:∠OAE=∠EAD.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知△ABC內(nèi)接于⊙O,AB=AC,∠A=36°,CD是⊙O的直徑,求∠ACD的度數(shù).

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同步練習(xí)冊(cè)答案
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