Question

菱形ABCD的邊長(zhǎng)為6，∠ABC=120°，E、F分別是邊AB，BC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足AE=BF．
（1）求DB的長(zhǎng)；
（2）判斷△DEF的形狀，并說明理由；
（3）設(shè)△DEF的周長(zhǎng)為L(zhǎng)，求L的最小值．

Answer 1

解：（1）∵四邊形ABCD是菱形
∴AD=AB，BD是∠ABC的角平分線
∴∠ABD=∠ADB=120°÷2=60°
∴△ABD是等邊三角形
∴BD=AB=AD=6；

（2）△DEF是等邊三角形
∵在△ADE與△BDF中，AD=BD，∠DAE=∠DBF=60°，AE=BF
∴△ADE≌△BDF（SAS）
∴DE=DF，∠ADE=∠BDF
∴∠ADE+∠EDB=∠BDF+∠EDB=60°
∴△DEF是等邊三角形；

（3）當(dāng)DE⊥AB時(shí)，DE最短，此時(shí)△DEF的周長(zhǎng)最短
∵在RT△ADE中，sin60°=
∴DE=AD×sin60°=3
∵△DEF是等邊三角形
∴L=3×3=9．
分析：（1）根據(jù)菱形對(duì)角線平分且垂直的性質(zhì)，求得BD；
（2）先證明△OCE≌△ODE，得DE=DF，∠ADE=∠BDF，從而得到∴△DEF是等邊三角形；
（3）先確定條件，即當(dāng)DE⊥AB時(shí)，DE最短，此時(shí)△DEF的周長(zhǎng)最短，由三角函數(shù)求出DE，從而得出L的最小值．
點(diǎn)評(píng)：本題是菱形的性質(zhì)與三角函數(shù)綜合性的題目，難度較大．