Question

如圖所示，△ABC的內切圓I與BC，CA，AB分別切于D，E，F，已知BC＝a，AC＝6，AB＝c，設⊙I的半徑為r，S＝(a＋b＋c)．求證： (1) ∠BIC＝＋∠BAC (2) ∠EDF＝－∠BAC (3) S△ABC＝S·r

Answer 1

答案：
解析：

(1)	因為I為△ABC的內心，所以IB，IC分別為∠ABC，∠ACB的平分線，所以∠IBC＝∠ABC，∠ICB＝∠ACB，所以∠IBC＋∠ICB＝(∠ABC＋∠ACB)．而∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝，所以∠ABC＋∠ACB＝－∠ABC，所以∠IBC＋∠ICB＝(－∠BAC)＝－∠BAC，在△BIC中，∠BIC＝－(∠IBC＋∠ICB)＝－＋∠BAC，即∠BIC＝＋∠BAC． 　　解題指導：因為I是△ABC的內心，所以IB，IC分別為∠ABC，∠ACB的平分線，所以∠IBC＋∠ICB＝(∠ABC＋∠ACB)＝(－∠BAC)，從而在△BIC中可求∠BIC
(2)	因為⊙I是△ABC的內切圓，所以IE⊥AC．IF⊥AB，所以∠IEA十∠IFA＝＋＝，四邊形AEIF的內角和為，所以∠EIF＋∠BAC＝，所以∠EIF＝－∠BAC．因為∠EDF＝∠EIF，所以∠EDF＝(－∠BAC)＝－∠BAC 　　解題指導：∠EDF和∠EIF是⊙I中所對圓周角和圓心角．所以∠EDF＝∠EIF，再根據四邊形AEIF中∠EIF與∠BAC的關系，可求∠EDF與∠BAC的關系
(3)	證明：因為S△ABC＝S△BIC＋S△ABC＋S△AIB，⊙I與BC，AC，AB分別切于D，E，F，所以ID⊥BC，IE⊥AC，IF∥⊥AB，且BC＝a，AC＝b，AB＝c，所以S△ABC＝a·ID＋b·IE＋c·IF，因為ID＝IE＝IF＝r，所以S△ABC＝ar＋br＋cr＝×(a＋b＋c)r＝S·r 　　解題指導：因為IA，IB，IC將△ABC分成三個三角形，所以S△ABC＝S△BIC＋s△AIC＋S△AIB，而這三個三角形的高均為△ABC的內切圓半徑r．