Question

（2013•思明區(qū)一模）如圖，拋物線y=ax²-bx+c（a＞1）過(guò)點(diǎn)A（1，0），且對(duì)稱軸為x=2，直線y=kx+m（k＞0）與拋物線交于點(diǎn)A和點(diǎn)B．
（1）求a：b：c；
（2）過(guò)拋物線的頂點(diǎn)P作直線l∥x軸，過(guò)點(diǎn)A、B分別作直線l的垂線，垂足為點(diǎn)C、D，比較AC+BD與CD的大小．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線y=ax²-bx+c（a＞1）過(guò)點(diǎn)A（1，0），且對(duì)稱軸為x=2，可得a、b、c之間的關(guān)系，從而可求a：b：c；
（2）聯(lián)立直線和拋物線的解析式，得到A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式可得AC、BD、CD之間的距離，進(jìn)行比較即可得出AC+BD與CD的大小．

解答：（1）解：∵拋物線y=ax²-bx+c（a＞1）過(guò)點(diǎn)A（1，0），且對(duì)稱軸為x=2，
∴-

-b

2a

=2，
∴b=4a，
又∵a-b+c=0，
∴c=3a，
∴a：b：c=1：4：3；

（2）解：AC+BD＞CD，
∵直線y=kx+m（k＞0）過(guò)點(diǎn)A（1，0），
∴k+m=0
即m=-k
∴y=kx-k，
由y=ax²-4a+3a，得頂點(diǎn)P（2，-a），
解

y=ax2-4a+3a y=kx-k

，得

xA=1 yA=0

，

xB= k a +3 yB= k2+2ak a

，
∵直線y=kx+m的k＞0
∴y隨x的增大而增大
∴y_B＞y_A=0
∵直線l∥x軸，AC⊥l、BD⊥l
∴C（1，-a），D(

k+3a

a

，-a)
∴AC=a，BD=

k2+2ak+a2

a

，CD=

k+2a

a

（法1）：AC+BD-CD=a+

k2+2ak+a2

a

-

k+2a

a

=

1

a

[a2+(a+k)2-(k+2a)]=

1

a

[a2-a+(a+k)2-(k+a)]=

1

a

[a(a-1)+(a+k)(a+k-1)]
∵a＞1且k＞0
∴a-1＞0，a+k-1＞0
∴

1

a

[a(a-1)+(a+k)(a+k-1)]＞0
∴AC+BD＞CD
（法2）：

AC+BD

CD

=

a2+(k+a)2

k+2a

∵a＞1且k＞0
∴a+k＞1
∴a²＞a，（a+k）²＞a+k
∴a²+（a+k）²＞a+a+k=2a+k
∴

a2+(k+a)2

k+2a

＞1，
∴AC+BD＞CD．

點(diǎn)評(píng)：考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)點(diǎn)有：代入法，對(duì)稱軸公式，方程思想，兩點(diǎn)之間的距離公式，線段的大小比較，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．